Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

Permítanme mencionar otra versión del Teorema del punto fijo de Lefschetz . Si $X$ es una variedad (digamos proyectiva suave, aunque esto funciona con mayor generalidad) sobre $\mathbb F_q$ de dimensión $d$ entonces \begin{equation} \left|X\left(\mathbb F_{q^n}\right)\right| = q^d \sum_i (-1)^i \mathrm{tr}\left(\Phi_{q^n} : H_{et}^i(\bar X,\mathbb Q_\ell)\right) \end{equation} donde $\ell$ es primordial para $q$ y $\Phi_{q^n}$ es el Frobenius geométrico.

Como corolario se obtiene la racionalidad de la función zeta de $X$ .

(Nótese que esto es en realidad un teorema de punto fijo. $X(\mathbb F_{q^n})$ es sólo el conjunto de puntos fijos bajo $\Phi_{q^n}$ aplicado a $X$ .)

Answer 2

FPT de Kakutani : Dejemos que $S$ sea un subconjunto no vacío, compacto y convexo de $\mathbb{R}^n$ y $\varphi:S \longrightarrow 2^S$ una función valorada por el conjunto con un gráfico cerrado y la propiedad de que $\varphi(x)$ es no vacía y convexa para todo $x \in S$ . Entonces $\varphi$ tiene un punto fijo.

Aplicación: Considere un juego con un número finito de jugadores y un número finito de estrategias. Si se permite a los jugadores elegir estrategias mixtas, siempre hay un equilibrio de Nash; es decir, un conjunto de elecciones de estrategia para todos los jugadores tal que ningún jugador puede hacerlo mejor cambiando unilateralmente a una estrategia diferente. Este es el teorema por el que J. Nash recibió el Premio Nobel de Economía en 1994.

Answer 3

El Teorema del punto fijo aritmético (véase también MO/30874 ) establece que si $F$ es una fórmula en teoría de números con una sola variable libre $v$ entonces hay una frase $A$ tal que la teoría de los números puede demostrar $A \Leftrightarrow F_v(\underline{[A]})$ . Una aplicación inmediata es Teorema de Gödel .

Answer 4

El Teorema de la contracción de la fibra debido a Hirsch y Pugh:

Dejemos que $F: E \to E$ sea un mapeo en el haz de fibras $\pi: E \to B$ cubriendo $f: B \to B$ , donde $B$ es un espacio topológico y las fibras $Y$ de $E$ son espacios métricos completos. Sea $f$ tienen un punto fijo globalmente atractivo $b \in B$ y el mapeo de fibras es una contracción uniforme en una vecindad $\pi^{-1}(U), b \in U \subset B$ (y por tanto existe un único punto fijo $e = (b,y) \in \pi^{-1}(b)$ ), y $b \mapsto F(b,y)$ sea continua. Entonces $e$ es el único punto fijo globalmente atrayente de $F$ .

Este resultado es una extensión del teorema del punto fijo de Banach que se puede utilizar para demostrar, por ejemplo, la existencia de variedades centrales y de variedades invariantes normalmente hiperbólicas. Es específicamente útil cuando no se puede encontrar una contracción en un espacio de $C^k$ pero se puede construir inductivamente una contracción sobre la $k$ -a chorro cuando el $k-1$ se sabe que los chorros convergen a un punto fijo.

Answer 5

Este resultado me pareció un poco interesante. Mahlon M. Day en el artículo [1] demostró que los grupos amenables son precisamente los grupos donde se cumple el teorema de Markov-Kakutani.

Si $(X,\mathcal{M})$ es un álgebra de conjuntos, entonces una función $\mu:\mathcal{M}\rightarrow[0,1]$ se dice que es una medida de probabilidad finitamente aditiva si $\mu(\emptyset)=0,\mu(X)=1$ y $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ siempre que $A,B\in\mathcal{M}$ y $A\cap B=\emptyset$ . Si $G$ es un grupo, entonces una medida de probabilidad finitamente aditiva $\mu:P(G)\rightarrow G$ en el álgebra de conjuntos $(G,P(G))$ se dice que es invariante a la izquierda si $\mu(aR)=\mu(R)$ para cada $R\subseteq G$ .

Un grupo $G$ se dice que es amenable si existe una medida de probabilidad finitamente aditiva invariable a la izquierda $\mu:P(G)\rightarrow[0,1]$ . Por ejemplo, todo grupo finito es susceptible, y todo grupo abeliano es susceptible. Además, la clase de grupos amenables es cerrada bajo la toma de cocientes, subgrupos, límites directos y productos finitos.

Dejemos que $C$ sea un subconjunto convexo de un espacio vectorial real. Entonces una función $f:C\rightarrow C$ se dice que es un mapa afín si $f(\lambda x+(1-\lambda)y)=\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ para cada $\lambda\in[0,1]$ y $x,y\in C$ .

$\textbf{Theorem}$ (Día) Deja $G$ sea un grupo. Entonces las siguientes son equivalentes.

1. $G$ es susceptible.

2. Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial topológico de Hausdorff y sea $C\subseteq X$ sea un subconjunto convexo compacto. Sea $\phi:G\rightarrow C^{C}$ sea una acción de grupo tal que cada $\phi(g)$ es un mapa afín continuo. Entonces hay un punto en $C$ fijado por cada elemento de $G$ .

3. Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial topológico localmente convexo y sea $C\subseteq X$ sea un subconjunto convexo compacto. Sea $\phi:G\rightarrow C^{C}$ sea una acción de grupo tal que cada $\phi(g)$ es un mapa afín continuo. Entonces hay un punto en $C$ fijado por cada elemento de $G$ .

[1] Teoremas de punto fijo para conjuntos convexos compactos. Mahlon M. Day.Illinois J. Math. Volumen 5, número 4 (1961), 585-590.

[2] Ceccherini-Silberstein, Tullio, y M. Coornaert. Cellular Automata and Groups. Heidelberg: Springer, 2010.