Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

El Teorema del punto fijo de Banach (o principio de mapeo de contracción) ya fue mencionado por Rodrigo A. Pérez, pero me gustaría destacar otra aplicación. El principio dice que una contracción de un espacio métrico completo $(X,d)$ (es decir, una función continua $f:X\to X$ tal que $d\big(f(x),f(y)\big)\leq \rho d(x,y)$ para cada $x,y\in X$ donde $\rho<1$ es una constante positiva que depende de $f$ solamente) tiene un único punto fijo.

En su artículo de 1981, que marcó un hito Fractales y auto-similitudes (Indiana Univ. Math. J., vol. 30, n. 5) J. Hutchinson axiomatizó la relación entre los fractales y las colecciones de contracciones de $\mathbb{R}^n$ . Demostró que para cada conjunto $\mathscr{S}=\{S_1,\dots,S_N\}$ de las contracciones $S_i\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ existe un único conjunto cerrado y acotado $K$ tal que $$ K=\bigcup_{i=1}^N S_i(K)\;. $$ Estos conjuntos cerrados fijos son "fractales" de forma muy natural. Por ejemplo, la curva de Koch se puede obtener en $\mathbb{R}^2$ mediante el uso de dos contracciones (véase la página 729 de la obra de Hutchinson), así como el conjunto de Cantor - para ello, tome $\mathscr{S}=\{S_1,S_2\}$ con $$ S_1(x)=\frac{x}{3}\quad\text{and}\quad S_2(x)=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\;. $$ La prueba de tres líneas de la existencia de $K$ es una aplicación del principio de mapeo por contracción (y es el Teorema 1 de la página 728 de la obra de Hutchinsons) y va como sigue: dejemos, como antes, $n\geq 1$ y $\mathscr{S}=\{S_1,\dots,S_N\}$ sean contracciones de $\mathbb{R}^n$ . Sea $\mathscr{B}$ sea el conjunto de todos los subconjuntos cerrados y acotados de $\mathbb{R}^n$ y, para dos cerradas acotadas $A,B\in\mathscr{B}$ , dejemos que $\delta(A,B)=\sup \{d(a,B),d(b,A):a\in A,b\in B\}$ . Esto hace que $(\mathscr{B},\delta)$ en un espacio métrico completo para el que $$ \mathscr{S}:A\mapsto \bigcup _{i=1}^{N}S_i(A) $$ es una contracción. Por lo tanto, hay un único punto fijo $K\in\mathscr{B}$ . No hace falta decir que se puede sustituir $\mathbb{R}^n$ con cualquier otro espacio métrico completo sin afectar a la prueba.

Answer 2

He olvidado quién lo ha demostrado, pero la afirmación es bonita y muy fácil de demostrar: Una función $f:X\to X$ es libre de punto fijo si y sólo si existe una partición de $X$ en tres subconjuntos s.t. $f$ mapea cada uno de los tres subconjuntos en la unión de los otros dos. Una aplicación inmediata es que si $f$ es libre de punto fijo en un conjunto $X$ entonces también lo es su extensión continua a una función sobre $\beta X$ .

Answer 3

He aquí una diminuta versión de juguete del teorema del punto fijo de Lefschetz: sea $f : S \to S$ sea un endomorfismo de un conjunto finito y sea $K[f] : K[S] \to K[S]$ sea el mapa lineal inducido sobre espacios vectoriales libres. Entonces $\text{tr}(K[f])$ es el número de puntos fijos de $f$ . Esta es una forma de demostrar el lema de Burnside.

Answer 4

La versión infinitamente dimensional de la FPT de Brouwer es la FPT de Schauder. Si $K$ es un subconjunto convexo cerrado no vacío de un TVS, y $f:K\rightarrow K$ es compacto ( $f$ es continua y $f(K)$ es compacto), entonces $f$ tiene un punto fijo.

Tiene numerosas aplicaciones en el análisis no lineal. Una de las primeras es la existencia de una solución para las ecuaciones estacionarias de Navier-Stokes con condición de contorno de Dirichlet, demostrada por J. Leray.

Answer 5

Uno de los teoremas de punto fijo más impresionantes que conozco se debe a Pataraia :

• Si $L$ es un poset con un elemento de fondo y con uniones de subconjuntos dirigidos, entonces toda función monótona $f: L \to L$ tiene un (mínimo) punto fijo.

Se trata de un refuerzo del teorema de Knaster-Tarski, y recuerda en cierto modo al Teorema de Bourbaki-Witt pero es totalmente constructivo. Discusión relacionada en el n-Category Café aquí .