Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

FPT de Brouwer : Toda función continua de una bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ a sí mismo tiene un FP.

Para las solicitudes, véase este pregunta.

Answer 2

Ryll-Nardzewski FPT : Si $K$ es un subconjunto convexo débilmente compacto de un espacio de Banach, entonces todo semigrupo de isometrías afines de $K$ tiene un punto fijo común.

Esto implica la existencia de medidas de Haar en grupos compactos.

Answer 3

Supongamos que $S$ es un conjunto finito con un número impar de elementos. Entonces toda involución $f:S\rightarrow S$ tiene un punto fijo.

Aplicación: Todas las primicias del formulario $p=4m+1$ puede escribirse como una suma de dos cuadrados. El resultado anterior se utiliza en la p.20 aquí .

También, aunque no tiene la forma habitual de teorema de punto fijo, es algo que llamo teorema del factor de punto fijo. Si $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ es un polinomio y $n>1$ entonces $f(x)-x$ es un factor de $f^n (x)-x$ para la naturaleza $n$ . Esto tiene una generalización muy obvia...

Answer 4

Existe el teorema de Bruhat-Tits según el cual un grupo que actúa por isometrías en un espacio CAT(0) con una órbita acotada tiene un punto fijo. Esto se aplica a menudo a subgrupos compactos de grous que actúan sobre edificios euclidianos.

Answer 5

Segundo teorema de recursión de Kleene Si $F$ es una función totalmente computable entonces hay un índice $e$ tal que $\{e\} \simeq \{F(e)\}$ .

Esto tiene muchas aplicaciones, como la recursión transfinita efectiva.