Teoremas de punto fijo

Question

Es sorprendente que los teoremas de punto fijo (FPT) aparezcan en tantos contextos diferentes a lo largo de las matemáticas: La aplicación del FPT de Kakutani le valió a Nash un premio Nobel; conozco algunos usos en lógica; y, por supuesto, todo el mundo debería conocer Teorema de Picard en las ODE. También hay resultados sobre la estructura local y global de los propios puntos fijos, y bastantes conjeturas famosas (también etiquetadas como FP T a efectos de esta pregunta).

Muchos resultados están tan lejos de mi campo que estoy seguro de que hay un montón de FPT por ahí que nunca he encontrado. Conozco varios, y los publicaré más tarde si no se me adelantan :)

Se aplican las normas de la wiki comunitaria. Un FPT por respuesta, preferiblemente con una lista inspiradora de aplicaciones interesantes.

Answer 1

El Teorema del punto fijo de Lefschetz es maravilloso. Generaliza el Teorema del Punto Fijo de Brouwer, y es una herramienta indispensable en el análisis topológico de los sistemas dinámicos.

La forma más débil es la siguiente. Para cualquier función continua $f:X \to X$ de un espacio triangulable $X$ a sí mismo, que $H_\ast f:H_\ast X\to H_\ast X$ denotan el endomorfismo inducido de los grupos de homología racional. Si la suma alternada (sobre dimensión) de las trazas

$$\Lambda(f) := \sum_{d \in \mathbb{N}}(-1)^d\text{ Tr}(H_df)$$

es distinto de cero, entonces $f$ ¡tiene un punto fijo! Como todo se define en términos de homología, que es un invariante de homotopía, se puede añadir "gratis" la conclusión de que cualquier otro automapa de $X$ homotópico a $f$ también tiene un punto fijo.

Cuando $f$ es el mapa de identidad, $\Lambda(f)$ es igual a la característica de Euler de $X$ .

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Actualización: Aquí es un animado documento escrito por James Heitsch como homenaje a Raoul Bott. Junto con un esbozo de la prueba estándar de la LFPT, se puede encontrar una amplia lista de aplicaciones interesantes.

Answer 2

Teorema del punto fijo de Lawvere. Si $f \colon A \to Y^A$ es un morfismo suryente en una categoría cartesiana cerrada, entonces cualquier $t \colon Y \to Y$ tiene un punto fijo.

(La subjetividad es un término técnico, que básicamente significa que cualquier $g \colon A \to Y$ es igual a $f(a)$ en puntos para algún punto $a$ de $A$ . Ver aquí )

Aplicaciones: El argumento diagonal de Cantor, el problema de detención de Turing, la paradoja de Russell, el teorema de incompletitud de Gödel, el teorema de incompletitud de Tarski, el teorema de Rice, y muchos más, ver aquí .

Answer 3

Teorema del punto fijo de Knaster-Tarski : Si $L$ es una red completa y $f:L \rightarrow L$ es preservador del orden, entonces el conjunto de puntos fijos de $f$ forman una red completa (no vacía).

Answer 4

Dejemos que $p$ sea un primo y que $G$ sea un finito $p$ -que actúa sobre un conjunto finito $X$ . Supongamos que $p$ no divide $|X|$ entonces esta acción tiene un punto fijo.

Esto tiene muchas aplicaciones, por ejemplo, la demostración del hecho de que los subgrupos Sylow son conjugados.

Answer 5

Teorema de Euler, que toda rotación no trivial $R$ del espacio 3 tiene un único eje. En realidad sólo días que $R$ que actúa sobre el espacio de las líneas que pasan por el origen tiene un único punto fijo.

(Añadido el 11 de abril de 2013) Acabo de recibir mi copia del último número de The Journal of Fixed Point Theory and its Applications (Vol.12, Nos. 1--2) y a partir de la página 27 hay un artículo con el título "Chasles' fixed point theorem for Euclidean motions". El teorema de Chasles es una generalización del Teorema de Euler; dice que todo movimiento euclidiano que preserva la orientación en el espacio 3 y que no es una traslación pura es un "giro" o "movimiento de tornillo", es decir, una rotación alrededor de una línea única (NO necesariamente a través del origen) llamada eje, seguida de una traslación paralela al eje. Realmente debería haber puesto este ejemplo en lugar del Teorema de Euler, ya que como he dicho es más general. Y no tengo excusa para no recordarlo ya que los autores de ese trabajo somos yo y mi hijo Bob.