Multiplicación infinita de matrices

Question

$\{a_{ij}\}_{i,j}\in \mathbf{C}$. Supongamos que $x=(x_1,x_2, . . . )$ sea una secuencia. Defina una nueva secuencia $Ax$ como $(Ax)_i = \sum_{j=1}^{\infty} a_{ij}x_j$ (si tiene sentido). Considere el mapa lineal $A:x\mapsto Ax$. Supongamos que $1 y que $q$ denote el exponente conjugado de $p$, y que las siguientes tres cantidades son finitas:

$\alpha_{p,q}=\sum_{i=1}^{\infty}(\sum_{j=1}^{\infty}|a_{ij}|^q)^\frac{p}{q}, \beta =sup_{i}\sum_{j=1}^{\infty}|a_{ij}|, \gamma=sup_{j}\sum_{i=1}^{\infty}|a_{ij}|$, entonces debo mostrar que A es un operador lineal acotado de $l^p$ en sí mismo y que $||A||\leq min\{\alpha_{p,q} ^\frac{1}{p}, \beta^\frac{1}{q}\gamma^\frac{1}{p}\}$

He mostrado que $||A||\leq \alpha_{p,q} ^\frac{1}{p}$ utilizando la desigualdad de Holder, necesito ayuda para mostrar la otra desigualdad.

Answer 1

Para la segunda desigualdad, nuevamente usando la desigualdad de Holder, $$\forall i,\quad\bigg|\sum_ja_{ij}x_j\bigg|\le\sum_j|a_{ij}|^{1/q}|a_{ij}|^{1/p}|x_j|\le\left(\sum_j|a_{ij}|\right)^{1/q}\left(\sum_j|a_{ij}||x_j|^p\right)^{1/p}$$ El primer término a la derecha es menor que $\beta^{1/q}$.

Por lo tanto $$\|Ax\|_p^p=\sum_i\big|\sum_ja_{ij}x_j\big|^p\le\beta^{p/q}\sum_{i,j}|a_{ij}||x_j|^p\le\beta^{p/q}\gamma\|x\|_p^p$$ $$\therefore\quad\|Ax\|_p\le\beta^{1/q}\gamma^{1/p}\|x\|_p$$

Este argumento es originalmente de Schur (para $p=q=2$), creo.