Representación matricial de los operadores (dimensión finita)

Question

Esta es una de las cosas que más me sorprenden. ¿Puede un operador (mecánico cuántico) ser representado por una matriz de dimensión finita? ¿Cómo se puede demostrar que esto es (o no es) así?

Más allá de eso me preguntan específicamente por el operador de la posición $\hat{x}=x$ y el operador de momento $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ . Se da una pista adicional para considerar las propiedades de las trazas matriciales.

Answer 1

Los operadores de posición y de momento $\hat{x}$ y $\hat{p}$ no puede representarse en dimensiones finitas ya que en dimensiones finitas $Tr(\hat{x}\hat{p})=Tr(\hat{p}\hat{x})$ Así que $Tr(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})=0\neq Tr(i\hbar I_n)=i\hbar n$