Los enunciados de la dualidad de Poincare para los colectores y la dualidad de Serre para las extensiones coherentes en las variedades algebraicas o los espacios analíticos son tentadoramente similares. He oído afirmaciones tangenciales de algunas personas de que, efectivamente, hay alguna conexión entre ambas. Pero nunca he sido capaz de averiguarlo por mí mismo. Por ejemplo, para un intento ingenuo en una variedad compleja suave, las dimensiones no coinciden. ¿Puede alguien ayudarme?
Respuestas
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Por lo que sé, para hacer una conexión precisa, hay que invocar la teoría de Hodge. Supongamos que $X$ es una variedad proyectiva compacta y lisa de dimensión $d$ . Entonces los pares de dualidad de Poincare $H^n(X,\mathbb C)$ con $H^{2d-n}(X,\mathbb C),$ para cualquier $n$ .
Ahora la descomposición de Hodge da $$H^n(X,\mathbb C) = \oplus_{p+q = n} H^q(X,\Omega^p)$$ y $$H^{2d-n}(X,\mathbb C) = \oplus_{p'+q' = 2 d - n} H^{q'}(X,\Omega^{p'}) = \oplus_{p + q = n}H^{d-q}(X,\Omega^{d - p}).$$
Ahora la dualidad de Serre da una dualidad entre $H^q(X,\Omega^p)$ y $H^{d - q}(X,\Omega^{d-p}),$ y la declaración de compatibilidad es que la dualidad de Poincare entre $H^n$ y $H^{2 d - n}$ es inducido por la suma directa de los emparejamientos en los distintos sumandos en la descomposición de Hodge dada por la dualidad de Serre. (Quizás hasta los signos y potencias de $2 \pi i$ , que no soy lo suficientemente valiente como para trabajar en este momento).
Añadido: Un buen caso en el que pensar para un recién llegado a la teoría de Hodge es el caso en el que $X$ es una superficie de Riemann compacta (o, de forma equivalente, una curva algebraica). Si el género de $X$ es $g$ , entonces $H^1(X,\mathbb C)$ es $2g$ -y está dotado de un emparejamiento simpléctico a través de dualidad de Poincare.
La teoría de Hodge se rompe $H^1(X,\mathbb C)$ en la suma de dos $g$ -subespacios dimensionales, a saber $H^0(X,\Omega^1)$ y $H^1(X,\mathcal O)$ . Estos son isótropos bajo la dualidad de Poincare (es decir, el par de dualidad de Poincare desaparece cuando se restringe a cualquiera de ellos), pero se vuelven duales entre sí bajo la dualidad de Poincare, y ese emparejamiento coincide con el emparejamiento de dualidad de Serre (hasta un factor de $2\pi i$ , tal vez).
La parte más fácil de entender es la inclusión $H^0(X,\Omega^1) \subset H^1(X,\mathbb C)$ un diferencial holomorfo da una clase de cohomología sólo a través de la teoría de Rham (es decir, integramos la forma holomorfa sobre 1-ciclos); nótese que las formas holomorfas 1 son automáticamente exactas, porque si se aplica la derivada exterior, se obtiene una 2 forma holomorfa, que debe desaparecer (porque $X$ es una curva, es decir, de dimensión compleja uno).
Para ver por qué $H^0(X,\Omega^1)$ es isotrópica bajo la dualidad de Poincare, nótese que en la de Rham la dualidad de Poincare corresponde a la unión de formas. Pero al acuñar de nuevo dos formas holomorfas 1 da una forma 2 holomorfa, que debe desaparecer (como ya hemos señalado).
Chris Benard
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Me gustaría señalar que existe una generalización de la dualidad de Poincare que vive puramente en el terreno de las variedades lisas y se parece a la dualidad de Serre. Sea $M$ sea una zona compacta, lisa y conectada $n$ -manifiesto. Sea $E$ sea un haz vectorial sobre $M$ equipado con una conexión plana (algunos dicen integrable) $\nabla$ . Sea $T^{\ast}$ sea el haz cotangente a $M$ . Para un haz vectorial $V$ en $M$ , dejemos que $C^{\infty}(V)$ sea la gavilla de secciones lisas de $V$ . Así que $C^{\infty}(V)(U)$ son secciones suaves de $V$ en $U$ .
La conexión $\nabla$ induce mapas $C^{\infty}(E \otimes \bigwedge^k T^{\ast}) \to C^{\infty}(E \otimes \bigwedge^{k+1} T^{\ast})$ . Estos mapas forman un complejo $$0 \to C^{\infty}(E)(M) \to C^{\infty}(E \otimes T^{\ast})(M) \to \cdots \to C^{\infty}(E \otimes \bigwedge\nolimits^n T^{\ast})(M) \to 0.$$
Definir $H_{DR}^i(M, E, \nabla)$ (no es la notación estándar), para ser los grupos de cohomología de este complejo. Entonces tenemos:
Relación con la cohomología de gavillas
Dejemos que $E_0$ sea la subserie de $C^{\infty}(E)$ dado por el núcleo de $\nabla$ . (Las llamadas secciones planas de $E$ .) Entonces $$H^i_{sheaf}(M, E_0) \cong H^i_{DR}(M, E, \nabla).$$ Esbozo de prueba: $$E_0 \to C^{\infty}(E) \to C^{\infty}(E \otimes T^{\ast}) \to \cdots \to C^{\infty}(E \otimes \bigwedge\nolimits^n T^{\ast})\to 0$$ es una resolución de $E_0$ por gavillas acíclicas.
Dualidad Tenemos $H^n(M, \bigwedge^n T^{\ast}) \cong \mathbb{R}$ y el emparejamiento de productos de la copa $$H_{DR}^q(M, E, \nabla) \otimes H_{DR}^{n-q}(M, E^{\vee} \otimes \bigwedge\nolimits^n T^{\ast}, \nabla') \longrightarrow H_{DR}^n(M, \bigwedge\nolimits^n T^{\ast}) \cong \mathbb{R}$$ es perfecto. Aquí $\nabla'$ es la conexión en $E^{\vee} \otimes \bigwedge^n T^{\ast}$ que es adjunto a $\nabla$ En un sentido que no quiero definir.
Tenga en cuenta que, si $M$ es orientable, entonces $\bigwedge^n T^{\ast}$ es trivial, lo que hace que el enunciado sea más sencillo pero se parezca un poco menos a la dualidad de Serre.
Si $E$ es el haz unidimensional trivial, y $\nabla$ es la conexión estándar $f \mapsto df$ entonces $H^i_{DR}(M, E, \nabla)$ es la cohomología estándar de DeRham $H^i_{DR}(M)$ . Por lo tanto, si $E$ y $\nabla$ son como los anteriores, y $M$ es orientable, recuperamos la dualidad de Poincare.
Recuerdo una buena discusión sobre esto en el libro de Voisin Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, volumen I Capítulo 5.3.2. I habló de esto en mi curso de Teoría de Hodge.
