¿Cómo presentar los objetos teóricos de conjuntos avanzados a los estudiantes de filosofía?

Question

En primer lugar, pido disculpas si el MSE no se ajusta a esta pregunta. Voy a dar un curso como último curso de "teoría elemental de conjuntos" (los cursos anteriores no los he dado yo). Tenía previsto introducir algunos temas avanzados como el modelo construible, el axioma de determinación y el forzamiento, pero no me limitaba a ellos. El problema es que los oyentes son estudiantes de filosofía. Tienen muy poca formación matemática. No puedo presentarlos de manera muy formal.

Pero sigo queriendo impresionarles explicando mis ideas de forma más intuitiva y filosófica. En particular, ¿cuál es el significado filosófico de los objetos de la teoría de conjuntos? ¿Hay algunos teoremas, relacionados con la lógica matemática, que puedan interesar a los estudiantes de filosofía?

Answer 1

I) Me gustaría ver el maravilloso libro de Michael Potter La teoría de conjuntos y su filosofía para ver el tipo de cosas que podría ser sensato cubrir en un curso dirigido a filósofos no muy matemáticos. Este brillante libro fue escrito, entre otras cosas, para esos estudiantes.

ii) Puede presentar el modelo constructible y hablar un poco sobre $V = L$ sin perder a su público. Pero dudo mucho, muchísimo, que, si tu público son filósofos con poca formación matemática, que haya cualquier punto en absoluto en tratar de explicar el forzamiento. Incluso la Guía para principiantes de Timothy Chow estará más allá de ellos (y proponer algo más accesible es un problema de exposición sin resolver). Lo que le importará a su público, en lo que respecta a la reflexión sobre la teoría de conjuntos, es que ciertos resultados de independencia puede de los detalles de las pruebas, no de los detalles de cómo están probados.

iii) Yo recomendaría, dado su público, y dado que han tenido una introducción estándar a ZFC, pasar parte de su tiempo mirando hacia los lados en lugar de hacia arriba. Necesitan saber (y estarán realmente interesados en descubrir) que hay otras formas de hacer teoría de conjuntos: no sólo Scott-Potter (que posiblemente se ajusta más a la imagen jerárquica canónica del universo de conjuntos), sino digamos NF.

Answer 2

A continuación se presentan algunos recursos adicionales que pueden ser de interés:

• Un libro antiguo pero muy interesante, Fundamentos de la teoría de conjuntos por Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel y Azriel Lévy. El libro describe los axiomas para ZFC, pero se interesa especialmente por su motivación y por otras cuestiones filosóficas de la teoría de conjuntos.

• El documento " ¿Necesitan las matemáticas nuevos axiomas? ", Solomon Feferman, Harvey Friedman, Penelope Maddy y John Steel, Boletín de Lógica Simbólica , 2000. Se refiere a cuestiones como si las grandes hipótesis cardinales deben formar parte del marco estándar de las matemáticas.

• Un artículo filosófico muy reciente de Joel David Hamkins, " El multiverso teórico de conjuntos ", Revisión de la lógica simbólica , 2012. Hamkins se centra explícitamente en el problema filosófico del significado objetivo (o la falta de él) de la frase "todos los conjuntos". Creo que los estudiantes de filosofía pueden sacar algo de este artículo si han sido introducidos a la hipótesis del continuo y a L, incluso si no saben nada de forzamiento. Y es extremadamente oportuno.

Answer 3

Si sus alumnos siguen teniendo dificultades con los conceptos más básicos de la demostración formal, me permito sugerirles humildemente mi programa DC Proof como recurso complementario. El tutorial incluido con mi asistente de demostración fácil de aprender incluye ejemplos trabajados de, entre otras pruebas, una resolución de la Paradoja de Barber, su gemela teórica de conjuntos, la Paradoja de Russell, y la paradoja relacionada del conjunto universal - ¡suficiente para despertar el interés de cualquier filósofo! También introduzco los axiomas de los números naturales y demuestro por inducción que ningún número puede ser su propio sucesor. Con cada uno de los 13 ejemplos trabajados, incluyo ejercicios con pistas y soluciones completas.

Visite mi sitio web para obtener más información, una descarga gratuita y un vídeo de demostración o diapositivas de PowerPoint.

Answer 4

Creo que es posible presentar estas ideas a los estudiantes de filosofía sin llegar a ser formalmente matemáticos.

Por ejemplo, una vez que el alumno entiende la importancia de los sistemas axiomáticos y de las pruebas, de los fundamentos, de la claridad estética, de la idea de conjunto, la idea de ZFC surge de forma natural sin tener que introducir la formalización exacta que se utiliza.

El forzamiento tal y como yo lo entiendo (que no lo entiendo mucho) es una técnica de la Teoría de Modelos. Es una distinción útil entre Sintaxis y Semántica (interpretación de la verdad). Uno puede introducir aquí las Tablas de la Verdad de Wittgensteins desde su Tractatus Logico-Philosophicus - un nombre con el que deberían estar familiarizados. Uno recuerda (apócrifamente) que desestimó las matemáticas como mera sintaxis, ¡una mitad de la ecuación de la Teoría de Modelos!

Se puede entonces introducir el Forzamiento como una técnica para crear Modelos no estándar donde ciertas proposiciones son forzado para sostener.

Por último, hay que presentarles a los filósofos que han utilizado o utilizan estas nociones. En Francia, destaca un nombre: Badiou. No sólo utiliza la ZFC y el forzamiento, sino también las láminas y la teoría de las categorías. Es un trabajo pesado y proviene de la tradición continental más que de la analítica angloamericana. Así que esta sugerencia puede no ser útil si sus alumnos son analíticos. estudiantes tienen una mentalidad analítica. Dicho esto, el propio Badiou admite que está tratando de crear un puente entre estas dos tradiciones, por lo que en sí mismo puede ser útil.