De Bezout del Lexema, tenga en cuenta que dado que \gcd(7,11) = 1, que divide a 100 de existe x,y \in \mathbb{Z} tal que 7x+11y=100.
Un candidato de la solución es de (x,y) = (8,4).
El resto de la solución está dada por (x,y) = (8+11 m,4-7m), donde m \in \mathbb{Z}. Ya que estamos buscando enteros positivos como soluciones, necesitamos 8+11 m > 0 y 4-7m>0, lo que nos da -\frac8{11}<m<\frac47. Esto significa que el único valor de m, cuando restringimos x, y para enteros positivos es de m=0, lo que nos da (x,y) = (8,4) como la única solución en los enteros positivos.
Si no te gusta adivinar su candidato solución, más algorítmico procedimiento es el uso de Euclides' algoritmo para obtener la solución a 7a+11b=1, que es como sigue.
Tenemos
\begin{align}
11 & = 7 \cdot (1) + 4 \implica 4 = 11 - 7 \cdot (1)\\
7 & = 4 \cdot (1) + 3 \implica 3 = 7 - 4 \cdot (1) \implica 3 = 7 - (11-7\cdot (1))\cdot (1) = 2\cdot 7 - 11\\
4 y = 3 \cdot (1) + 1 \implica 1 = 4 - 3 \cdot (1) \implica que 1 = (11-7 \cdot(1)) - (2\cdot 7 - 11) \cdot 1 = 11 \cdot 2-7 \cdot 3
\end{align}
Esto significa que la solución a 7a+11b=1 el uso de Euclides' algoritmo es de (-3,2). Por lo tanto, el candidato de la solución de 7x+11y=100 es (-300,200). Ahora todas las posibles soluciones están dadas por (x,y) = (-300+11n,200-7n). Ya tenemos x y y a ser positivo, necesitamos -300+11n > 0 y 200-7n > 0, lo que nos da
\dfrac{300}{11} < n < \dfrac{200}7 \implica 27 \dfrac3{11} < n < 28 \dfrac47
El único entero en este rango es de n=28, que a su vez da (x,y) = (8,4).