Demuestre que la siguiente función es continua en $[0,1].$

Question

Definir $$\omega_f(\delta) =\sup \{|f(x)-f(y)|: (x,y)\in [0,1]^{2}\text{ and } |x-y|\leq \delta\}$$ donde $f\in \mathcal{C}([0,1])$ y $\delta\geq 0.$ He comprobado que para todos $\delta_1,\delta_2\geq 0$ lo tenemos: $$\omega_f(\delta_1)\leq \omega_{f}(\delta_1+\delta_2)\leq \omega_f(\delta_1)+\omega_f(\delta_2).$$ Ahora quiero demostrar que $\omega_f(\delta)$ es continua para todo $\delta\in [0,1].$ He defendido la continuidad en $0$ utilizando la contradicción y el hecho de que $\omega_f$ es monótona. Además, para $r\in (0,1]$ y $h\geq 0$ tenemos que $$\omega_f(r) \leq \omega_f(r+h)\leq \omega_f(r)+\omega_f (h).$$ Si enviamos $h\to 0$ conseguimos que $\omega_f(r+h)\to \omega_f(r)$ y así $\omega_f$ es continua derecha. Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar $\omega_f$ es continua a la izquierda. He probado lo siguiente: $$\omega_f(h)\leq \omega_{f}(h+(r-h))\leq \omega_f(h)+\omega_f(r-h)$$ $$\implies \omega_{f}(r)-\omega_f(h)\leq \omega_f(r-h)$$ y de forma similar desde entonces, $$\omega_f(r-h)\leq \omega_{f}((r-h)+h)\leq \omega_f(r-h)+\omega_f(h)$$ $$\implies \omega_{f}(r-h)\leq \omega_f(r).$$ Así, tenemos que $$\omega_f(r)-\omega_f(h)\leq \omega_f(r-h)\leq \omega_f(r).$$ Envío de $h\to 0$ debería dar continuidad a la izquierda por el teorema de squeeze.

¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Sólo la monotonicidad de $\omega_f$ no es suficiente para dar continuidad. Hay que utilizar esa $f$ es (uniformemente) continua.

Un pequeño (quizás pedante) punto de notación: $\omega_f(\delta)$ es un número real, por lo que no puede ser continuo. Lo que querías decir es que querías demostrar que $\omega_f$ era continua en $[0,1]$ o, si realmente quieres escribir $\omega_f(\delta)$ , escriba que $\omega_f(\delta)$ es continua en cada $\delta \in [0,1]$ .

Por lo demás, me parece correcto (sin embargo, usted que $\omega_f(r-h) \leq \omega_f(r)$ es una consecuencia directa de su monotonicidad).