Dejemos que $f(x,y)$ sea una función cóncava y estrictamente creciente que además sea homogénea de grado uno. ¿Es cierto que $f$ es estrictamente cóncavo con respecto a uno de sus argumentos? Es decir, ¿tenemos $$ f(x,ay+(1-a)y')>af(x,y)+(1-a)f(x,y') $$ Por ejemplo, esto es cierto en el caso $f(x,y)=x^by^{1-b}$ con $x\geq 0$ , $y\geq 0$ y $0< b< 1$ . ¿Este resultado es más general?
Respuestas
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crystalsnowlion
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En primer lugar, ¿puede durar una función cóncava sin empezar a ser decreciente? Sólo me lo pregunto... Además, si una función es estrictamente cóncava en respuesta a uno de sus argumentos, sin duda puede ser estrictamente convexa en respuesta a otro de sus argumentos, así que sí creo que es posible. No tiene que ser estrictamente cóncavo aunque no creo que sea mi intuición.
crystalsnowlion
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27
No creo que haya restricciones con respecto a ninguno de los argumentos, ya que hay dos. El primer argumento debería poder compensar totalmente el efecto del segundo, creo. Pero honestamente no estoy seguro de cómo esto se ve afectado por la homogeneidad de grado uno cosa. Así que podría estar completamente equivocado lol.
