¿Por qué sólo se pueden medir las cosas reales?

Question

¿Por qué no podemos medir números imaginarios? Es decir, podemos tomar la proyección de una onda compleja como la parte "visible", así que ¿por qué los números imaginarios reciben este descriptor inconmensurable? Es decir, con los operadores de la mecánica cuántica, ¿por qué las cantidades medibles deben ser hermitianas y, en consecuencia, reales?

Answer 1

I) Bueno, se puede identificar un observable de valor complejo con un operador normal

$$\tag{1} A^{\dagger}A~=~AA^{\dagger}.$$

Una versión $^1$ de la teorema espectral establece que un operador $A$ es ortonormalmente diagonalizable si $A$ es un operador normal.

Por lo tanto, los operadores normales son el único tipo de operadores de los que podemos extraer mediciones de forma consistente [es decir, estados propios y valores propios (posiblemente complejos)].

II) Pero fíjate que un operador normal

$$\tag{2} A~=~B+iC$$

puede ser único $^2$ se escribe como una suma de dos operadores autoadjuntos conmutables

$$\tag{3} B^{\dagger}~=~B, \qquad C^{\dagger}~=~C, \qquad [B,C]~=~0. $$

( $B$ y $C$ son el operador análogo a la descomposición de un número complejo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ en la parte real e imaginaria $x,y\in\mathbb{R}$ .) A la inversa, dos operadores autoadjuntos conmutables $B$ y $C$ se puede empaquetar en un operador normal (2). Destacamos que la conmutatividad de $B$ y $C$ codifica con precisión la condición de normalidad (1).

Dado que los operadores autoadjuntos $B$ y $C$ conmutan, se pueden diagonalizar ortonormalmente de forma simultánea, es decir, el par correspondiente $(B,C)$ de observables de valor real pueden ser medidos simultáneamente. Este hecho es coherente con la Principio de incertidumbre de Heisenberg aplicado a los operadores $B$ y $C$ .

Llegamos a la conclusión de que un operador normal no conduce a nada fundamentalmente nuevo que no pueda ser cubierto por un par conmutado de observables estándar de valor real, es decir, operadores autoadjuntos. Por esta razón, la posibilidad de utilizar operadores normales como observables complejos rara vez se menciona cuando se discute el postulados de la mecánica cuántica .

Para más información sobre los observables de valor real, véase por ejemplo este Post de Phys.SE y enlaces en el mismo.

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$^1$ Ignoraremos las sutilezas con operadores no limitados , dominios, extensiones autoadjuntas etc., en esta respuesta.

$^2$ Las fórmulas únicas son $B=\frac{A+A^{\dagger}}{2}$ y $C=\frac{A-A^{\dagger}}{2i}$ .

Answer 2

Como estructura matemática, el campo de los números complejos no admite una relación de orden que es una extensión de la orden que tenemos en $\mathbb{R}$ .

Esto significa que no hay absolutamente ninguna manera de decir si $5+3i$ es mayor o menor que $5+6i$ por ejemplo. Sólo sabemos que no es igual y tenemos que parar aquí.

Por lo tanto, es físicamente muy difícil (en realidad imposible) comparar "observables" que tengan como valores propios números complejos.

Ya no podríamos decir qué partícula tiene mayor masa, menor energía, etc.

Creo que tomar el campo real como el campo primario en el que los resultados de la medida toman valores es sólo una cuestión de conveniencia. Podrías intentar crear una especie de mecánica cuántica con valores propios complejos, pero entonces ya no podrías ajustar los experimentos y tu modelo se vuelve extremadamente menos predictivo.

De todos modos, he leído en El camino a la realidad por Penrose que algunos físicos consideraban como campos numéricos algo así como el cíclico $\mathbb{Z}_p$ con $p$ de primera y extremadamente grande. Como no está claro si esto puede conducir a una nueva física, nos quedamos con $\mathbb{R}$ .

Eso es todo, hasta donde yo entiendo el problema.

Answer 3

Los números imaginarios pueden representarse como pares de números reales. También se puede fabricar un dispositivo que mezcle los resultados de la medición de dos reales en el nivel de hardware para producir "amplitud" y "fase" complejas como resultados, lo que se podría denominar como la medición de un número complejo.

De forma más general, cualquier medición acaba leyendo los valores de los indicadores de sus instrumentos. Son números, por tanto, reales. Sin embargo, también pueden ser conjuntos (matrices) de reales, como es el caso de las cámaras fotográficas, por ejemplo. Así que, tal vez, la afirmación más general sería que uno puede medir cantidades, que son expresables como un conjunto de números reales.

Answer 4

Como los números complejos son un término bastante abstracto, y no tienen representación física, todavía es posible verlos, aunque sólo la parte imaginaria o sólo la parte real de alguna medida no va a dar información completa. Sólo el número complejo completo representa una información completa.

Ahora bien, he dicho que es posible medir realmente los valores imaginarios y reales. Aunque no es mecánica cuántica, Modulación QA es un buen ejemplo de cómo se pueden medir realmente las partes imaginarias y reales de una señal.

Answer 5

Al menos la energía compleja y el tiempo imaginario se utilizan en la mecánica cuántica. La energía compleja para describir procesos no estacionarios. El tiempo imaginario se utiliza en el libro de Landau Lifshits, volumen 3, problema 3 al párrafo 77. Al mismo tiempo, se utilizan estas palabras: "El valor imaginario de un momento en el tiempo $\tau_0$ corresponde a la clásica impracticabilidad del proceso" $$W=\exp\left[-2\mathrm{Im}\left(\int_{\tau}^{\tau_0}\frac{4F^2}{\Omega^2}\sin^2\Omega u\mathrm{d}u+\tau_0\right)\right]$$ Pero para utilizar los valores propios complejos de los operadores de la mecánica cuántica, es necesario utilizar operadores no autoadjuntos, y entonces los valores propios pueden resultar complejos. En el espacio complejo, los operadores de energía y de momento son operadores generales, no autoconjuntos. $$\hat H=\sum_{k=1}^3 -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial z_k^2},z_k=\mathrm{Re}\,z_k+i \mathrm{Im}\,z_k$$ $$\hat p_r=-i\hbar(\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})$$ La función propia de la parte radial del operador de momento en el espacio tridimensional es igual a $\psi=exp(ip_r r/\hbar)/r$ . Los valores propios de estos operadores pueden ser complejos. Al escribir una solución para la función de onda en el plano complejo hay un problema. Cuando se utiliza el espacio real, existe una solución no amortiguadora sólo con coordenadas reales. Del mismo modo, en un plano complejo con un valor propio complejo, existe una solución no amortiguadora en una determinada fase de la coordenada compleja. Tenemos que pensar en el significado físico de la solución compleja. En hidrodinámica, el significado físico de la parte imaginaria es la desviación estándar. En la mecánica cuántica, aparentemente también. Hay que medir el término constante descrito por la parte real y el variable, el término de desvanecimiento descrito por la parte imaginaria. La energía y el momento complejos describen la localización en el tiempo y en el espacio, respectivamente, de la energía y el momento. La parte imaginaria del valor de la energía compleja se determina a partir del tiempo de vida del sistema. La parte imaginaria del impulso se determina a partir del valor complejo conocido de la energía y las ecuaciones $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ .