¿7 bebidas - 7 sabores - variedad infinita?

Question

Yo y tres amigos están tratando de encontrar la respuesta a una pregunta que me plantea sobre un auto-servicio de máquina de bebidas en nuestro local de Burger King:

Hay una máquina de refrescos que tiene 7 variedades de bebidas (coca cola, limonada, naranja, ayuda, etc) y cada bebe tiene siete variedades de sabor (vainilla, coca-cola, la cal, la coca cola de vainilla limonada, lima lemonde, etc). Si usted puede elegir las proporciones de los diferentes bebidas en tu taza, ¿podría hacer un número infinito de diferentes bebidas con sabor?

Mis amigos creen que es importante señalar que la copa es de 500ml ( no creo que esto hace la diferencia).

Hasta ahora nadie me cree en decir que es infinito, incluso después de que le hayamos enviado el mismo preguntas como se indicó anteriormente a un conocido texto de un servicio de contestador, cuya respuesta fue:

Hay un número infinito de combinaciones de bebidas con 7 variedades de bebidas con 7 sabores, si puede elegir las proporciones, ya que hay infinitos números.

Mis amigos de la respuesta a esto fue que ellos (el texto servicio de contestador) no entendió la pregunta y se equivocó.

Espero que puedan responder mi pregunta y, si estoy en lo cierto, podría usted por favor, explique su respuesta para que mis amigos no creo que ustedes no han entendido bien la pregunta así.

Answer 1

Este puede ser uno de esos momentos en los que es importante distinguir entre la matemática y la física.

Si se le permite elegir arbitraria proporciones, matemáticamente, el número de sabores son infinitas. Esto es cierto incluso con dos sabores, $a$$b$. Si dejamos $0$ denotar el sabor $a$ $1$ denotar el sabor $b$, entonces la línea que une la $a$ $b$ es sólo la unidad de intervalo, el cual tiene una cantidad no numerable de puntos. Si cada punto representa un sabor único, de ello se sigue que hay un número infinito de sabores.

En realidad, sin embargo, el número de sabores es finito por dos razones importantes. En primer lugar, la lengua humana no puede distinguir sabores arbitraria de las precisiones. Si nadie en la Tierra puede decir que los sabores $0.499$ $0.5$ aparte, ¿todavía les llaman de diferentes sabores? En segundo lugar, hay sólo un número finito de átomos que caben en la copa para que los sabores son trivialmente delimitada por las combinaciones de los átomos que usted puede elegir para hacer la bebida, que es finito.

Answer 2

La respuesta es no, debido a las limitaciones en el mundo físico. En un recipiente de tamaño dado, un número limitado de moléculas gaseosas se va a montar.

Por ejemplo, suponga que tiene una pequeña copa único capaz de contener a $100$ de moléculas de soda. (Para simplificar el problema, suponga que todos los refrescos moléculas son del mismo tamaño.)

Así, ha $100$ "slots" para el refresco de las moléculas. Cada ranura puede tener uno de los $7\cdot7=49$ posible sabores. Por lo tanto, usted sólo tiene $49^{100}$ posibles combinaciones de sabores-un gran número, por supuesto, pero todavía un largo camino fuera de infinito.

EDITAR:

La limitada capacidad de la taza es importante. Si no tenemos límite de capacidad, podríamos formar cualquier relación que lo desearan entre cualquier mezcla de bebidas. Sin embargo, esto no es posible con una capacidad limitada. Por ejemplo, digamos que quería una relación de $100:101$ de moléculas de sodio (en el ejemplo anterior). Tendríamos una capacidad total de $201$ de las moléculas de tener esta precisión. Lamentablemente, sólo puede caber $100$ de moléculas en una taza.

Answer 3

Sí, si usted puede controlar las proporciones de una forma arbitraria (aunque finita) de precisión, a continuación, usted puede hacer una infinidad de bebidas diferentes con sólo dos sabores disponibles. Simplemente tome $p$ tal que $0<p<1$ y tome $q=1-p$. Ahora tome $p\times 500\text{ml}$ de la primera sabor y $q\times 500\text{ml}$ de la segunda sabor. Hay infinidad de $p$'s entre el$0$$1$, por lo que hay una infinidad de combinaciones.

Lo sorprendente, en todo caso, es que con siete sabores o con dos sabores, el número de diferentes bebidas que usted puede generar es el mismo. Y el mismo no sólo significa "infinito", sino una muy buena noción matemática de "mismo tamaño" de los infinitos.

Tenga en cuenta, sin embargo, que todo esto es teórico en un universo ideal de las matemáticas. [Física] boca no tiene precisión arbitraria entre sabores y no podemos controlar la máquina más de una finito y limitado de precisión, además hay sólo una cantidad finita de bebidas que podemos hacer durante el tiempo de vida de la nuestra y de la máquina. Tan sólo hay un número finito de combinaciones en realidad desde el cual podemos elegir, después de todo.

Answer 4

El texto-servicio de contestador sería correcto. Para simplificar, se puede asumir que sólo hay una opción de bebida y una posible saborizante. Entonces podríamos tener un $1:1$ ratio, donde tenemos la mitad de la bebida y de la mitad de sabor, o podemos tener un $2:1$ ratio, donde $\frac{2}{3}$ de la mezcla de la bebida es la bebida en sí mismo, mientras que el tercio restante es el sabor, y así sucesivamente. Por lo tanto, podemos tener una relación de $n:1$ para cualquier posible $n$, y dado que hay infinitamente muchos enteros positivos, tenemos infinidad de posibilidades. Dado que esta es una versión simplificada, ciertamente, si nos permiten no ser de 7 a elegir bebidas y 7 posibles saborizantes, habrá infinidad de opciones, a continuación, también.

Answer 5

sabor n.
1. sabor percibido en la comida o líquido en la boca

El sabor es el perseption de los productos químicos que entran en contacto con nuestras papilas gustativas. Como dijo EuYu, las papilas gustativas son capaces de un número finito de resolución de percepción, de ahí que en última instancia hay un número finito de sabores. Usted puede tener una variedad mucho más amplia de combinaciones químicas, pero de nuevo están limitados por finito atómica de granularidad.

Otra cosa a tener en cuenta es cuán variados son los cuarenta y nueve refrescos? Estoy dispuesto a apostar que cada refresco es de al menos 90% de agua. Yo iba a decir "y el 9% de azúcar", pero "Dieta" bebidas ofrecer alternativas. Que sale de un conjunto de 50ml de variedad en la copa.