Creemos una función que sólo tome números irracionales, $\overline {\mathbb{Q}}$ . Vamos a tener $f(x)=c \cdot x$ pero x sólo puede ser irracional. ¿Cómo se puede encontrar la medida, en términos generales el área bajo la gráfica, de la función, dentro de una región delimitada? ¿Es $0$ ¿o algo más? Mi intuición me lleva a creer que la medida de cualquier función definida sobre los irracionales es simplemente igual a la integral, de nuevo hablando vagamente, ya que la cardinalidad de los irracionales es mayor que la cardinalidad de los racionales. Si mi suposición es correcta, eso debería implicar que cualquier función acotada definida sobre $ \mathbb{Q}$ tiene una medida de $0$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
zoli
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$$\mathbb Q \text{ and } \overline {\mathbb Q}$$ son conjuntos medibles de Lebesgue. Se puede definir la función medible
$$\overline f(x)=\begin{cases}cx,& \text{ if } x \in \overline{\mathbb Q}\\ cx,&\text{ if } x\in \mathbb Q.\end{cases}$$
Entonces, para una medida acotada $A$ :
$$\int_A \overline fd\lambda=\int_{A\setminus\mathbb Q}\ \ cx\ d\lambda +\int_{A \cap\ \mathbb Q}cx\ d\lambda=\ \int_Af d\lambda.$$
Porque, teniendo en cuenta $\{r_i, i=1,2,...\}$ un ordenamiento de los racionales, tenemos
$$\int_{A \cap\mathbb Q}cx\ d\lambda=\sum _{r_i \in A \cap\mathbb Q}c\ r_i\lambda(\{r_i\})=0.$$
