Orden de Hom $(D_n,\mathbb{C}^*)$

Question

¿Cuál es el orden de Hom $(D_n,\mathbb{C}^*)$ ?

Sé que $D_n/[D_n,D_n]$ es isomorfo con $\{\pm 1\}$ si n es impar e isomorfo con $V_4$ si n es par. Y sé que $\#D_n=\#D_n/[D_n,D_n]$ . ¿Cómo puedo utilizarlos para determinar el orden de Hom $(D_n,\mathbb{C}^*)$ ?

Además: ¿puedo utilizar el hecho de que $\#G=\#G/[G,G]$ a través de la función compuesta $G\rightarrow G/[G,G]\rightarrow \mathbb{C}^*$ donde la segunda flecha es un homomorfismo para obtener #Hom $(S_n,\mathbb{C})$ y Hom $(S_n,\mathbb{C}^*)$ ?

Sé que ya había una pregunta sobre esto, pero me gustaría ver cómo se puede resolver con estos datos.

Answer 1

Si $f\colon G\to H$ es un homomorfismo y $H$ es abeliano, entonces $$ f(xyx^{-1}y^{-1})=f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1}=1 $$ y así $xyx^{-1}y^{-1}\in\ker f$ . Así, $[G,G]\subseteq\ker f$ y $f$ induce un homomorfismo $\bar{f}\colon G/[G,G]\to H$ .

Así, el número de homomorfismos $D_n\to\mathbb{C}^*$ es igual al número de homomorfismos $D_n/[D_n,D_n]$ .

Si $n$ es impar, entonces este grupo es $C_2$ el grupo cíclico de orden $2$ . Los elementos en $\mathbb{C}^*$ con orden divisor de $2$ son $1$ y $-1$ lo que significa que hay dos homomorfismos $D_n\to\mathbb{C}^*$ .

Si $n$ es par, este grupo es isomorfo a $C_2\times C_2$ , por lo que los homomorfismos son cuatro. ¿Por qué?