Siento que esto probablemente se cerrará por ser off-topic, pero por otro lado siento que mis tres (ciertamente largos y algo despotricados) grandes consejos podrían ayudar a alguien, en algún lugar, en el camino.
¡Practica, practica, practica!
Me parece que a menudo veo que la gente se queja de la inclusión de muchos ejercicios de "esta prueba se deja al lector", o de muchos ejercicios en general, en los libros de texto. Se incluyen por una buena razón: están pensados para que los hagas y los utilices siempre que puedas. No podrás aprender verdaderamente matemáticas si te limitas a leer el texto o a escuchar las clases y pensar "oh, me acordaré de eso", o "oh, lo entiendo profundamente".
Puede que te sirva para cosas de bajo nivel, pero no para cosas muy complicadas, matizadas y de alto nivel. Estos ejercicios pueden ayudarte a ver los matices y las complejidades de lo que estás aprendiendo; por qué un método o una idea fracasan cuando otra tiene éxito; los méritos de una línea de pensamiento, en contraposición a otra. Un texto bien diseñado utiliza los ejercicios para profundizar en tu comprensión, en lugar de limitarse a reforzar tu memoria muscular para que puedas resolver la milmillonésima ecuación cuadrática que has encontrado.
Lamentablemente, creo que esto se pierde para los más jóvenes, ya que muchos de los ejercicios de los textos parecen ser "resuelve estas y estas ecuaciones con el método X" o cosas por el estilo, a menos que tengas un profesor maravilloso. Aun así, son valiosos a su manera, ya que al menos te permiten practicar hasta que domines la metodología. Creo que, en parte, esa es la razón por la que mucha gente ve las matemáticas como algo aburrido, ya que en la escuela primaria se enseñan cosas que hay que memorizar y escupir mecánicamente cuando es necesario, pero esto aborda un tema totalmente diferente...
En resumen:
- Haz los ejercicios que te plantea el libro de texto. Si te quedas atascado, no pasa nada, pero intenta completarlos, o al menos entender la solución. De hecho, el MSE está más que dispuesto a ayudarte en estos aspectos.
- En casi ningún nivel de las matemáticas hay realmente una excepción a esta regla, excepto quizás las matemáticas muy computacionales (por ejemplo, resolver esta ecuación, encontrar esta derivada, multiplicar estas matrices) que los libros de texto pueden atiborrar con docenas de ejercicios. Esos, deberías hacerlos hasta que te sientas muy cómodo con los cálculos. ¿Y si al final todavía no lo estás? A menudo esos ejercicios se prestan a que sepas cómo hacer los tuyos propios, así que practica de esa manera.
Comprueba tu trabajo.
Es algo pequeño, pero los beneficios son grandes en cuanto a calificaciones y demás. Sobre todo después de lo anterior, lo mejor es repasar tu trabajo y asegurarte de que es válido: podrías conseguir también mucho de las cosas, y cometer un desliz sin saberlo. (Imagino que todo el mundo aquí se ha equivocado accidentalmente en el signo de algún número o variable al menos una vez). Dependiendo del contexto, existen numerosos medios para comprobar tu trabajo:
- Sustituye en tu solución. Esto funciona para problemas que equivalen a "resolver esta ecuación", por ejemplo, raíces de polinomios, ecuaciones diferenciales. Si $a$ es una raíz de alguna función $f$ , tienes que estar seguro de que $f(a) = 0$ . Esto es especialmente útil cuando su método introduce soluciones extrañas.
- Asegúrese de que su solución tiene sentido. El "sentido" depende del problema. Por ejemplo, si encuentras la integral indefinida de una función, ¡más vale que te asegures de que la diferenciación te devuelve esa función! Si estás encontrando el determinante de una matriz que tiene una fila que es visiblemente un múltiplo escalar de otra, entonces es mejor que esperes que el resultado que has obtenido sea $0$ ¡! Si está encontrando una probabilidad, debe estar seguro de que está entre $0$ y $1$ inclusivo, y no un número masivo. Y así sucesivamente.
- Vuelve a vivir el trabajo, desde cero. A veces, si lo haces por segunda vez, la respuesta será diferente, aunque el proceso sea (crees) exactamente el mismo. Averigua dónde surge la diferencia. Esto es especialmente útil para los deberes, en el caso de que puedas hacer el problema, volver a mirarlo unas horas o días más tarde, y rehacerlo, para que el trabajo original salga de tu mente.
- Encuentra la solución de forma alternativa. A menudo hay más de una manera de abordar un problema matemático, dependiendo de tu nivel de sofisticación. Por ejemplo, un YouTuber de matemáticas llamado Dr. Peyam hizo una serie de doce vídeos sobre diferentes métodos para encontrar el valor de $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ y hay cientos de pruebas del teorema de Pitágoras (aquí hay 122 de ellos) . Personalmente, también me divierte un poco cuando veo este problema enrevesado en clase, pero conozco una forma mucho más sencilla de resolverlo utilizando algún conocimiento externo - por supuesto, sería un fracaso para el propósito de la clase si presentara esa respuesta para un examen o algo así, pero, ¡me permite saber que mi respuesta es correcta! Si puedes validar tu respuesta resolviéndola de alguna manera distinta a tu método original, eso hace que la validez de tu resultado sea mucho más fuerte si no estabas seguro. (Encontrar un resultado antiguo de una manera nueva puede incluso conducir a nuevas ideas sobre las propias matemáticas...)
- Cuestiona cada paso de tu derivación. Si ninguno de los métodos anteriores es posible, lo mejor que puedes hacer es revisar tu trabajo con todo detalle. Justificar todos y cada uno de los pasos, sin dejar de lado posibles ambigüedades o decisiones arbitrarias. Esto se hace más fácil una vez que estás más acostumbrado a escribir pruebas y demás, donde se espera que expliques tus trabajos y motivaciones de alguna manera, y por lo tanto tienes que explicar estos pasos (los no obvios en particular) a tu lector. Encuentre cualquier posible fallo lógico en su trabajo, y examínelo. Lamentablemente, lo que en última instancia consiste en algo digno de escrutinio es algo que tendrás que desarrollar con la práctica, así que remítete a mi primera sección.
Nunca, nunca tengas miedo de hacer preguntas.
No hay preguntas "estúpidas" en matemáticas (excepto quizás la típica "¿va a salir esto en el examen?", y supongo que cualquier cosa que no esté realmente relacionada con una clase cuando ésta se esté impartiendo). Ningún profesor ni ningún libro de texto son perfectos; hay matices que pueden pasar por alto, o ramas de pensamiento interesantes que pueden pasar por alto por una u otra razón. Si estás confundido, pregunta de todos modos, aquí, en la clase, donde sea - si estás confundido, probablemente no eres el único. Probablemente haya algún chico tímido en algún lugar con la misma pregunta. (Creo que los programas de estudios de mi universidad incluso lo dicen explícitamente ahora, probablemente por esta misma razón, llamándolo servicio a la comunidad).
Obtener una aclaración cuando estás confundido es algo bueno.
La curiosidad es algo bueno.
No pierdas de vista ninguno de ellos.
(Esto no significa que cada pregunta tenga una respuesta satisfactoria y algunas podrían requerir que investigues por tu cuenta, o que hables con tu profesor después de las horas de clase, dependiendo de su disposición. Esto va más por la parte de la curiosidad que por la de la aclaración - a veces la pregunta correcta abre toda una lata de gusanos que no puede ser cubierta fácilmente sin entrar en conflicto con el plan de estudios, tristemente).
