Los grupos de cobertura de los grupos de Lie compactos conectados son compactos.

Question

Hola: Tengo la siguiente pregunta:

¿Es cierto que el grupo de cobertura de un grupo de Lie compacto y conexo es también compacto?

¡Muchas gracias!

Answer 1

No, toma $\Bbb R$ que es la cubierta universal del grupo del círculo, $\Bbb R/\Bbb Z$ .

Answer 2

Como ha señalado Adam, esto es erróneo en general, pero en el caso de un grupo de Lie compacto y semisimple, es cierto:

Teorema ( Weyl ): Si $G$ es un grupo de Lie semisimple conectado con álgebra de Lie compacta, entonces $G$ es compacto y $Z(G)$ es finito.

Esto se demuestra, por ejemplo, en

Hilgert, Neeb: Estructura y geometría de los grupos de Lie Teorema 12.1.17.

Aquí un álgebra de Lie es compacto si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto (Proposición 12.1.4 en loc.cit. ). En particular, el teorema de Weyl se aplica a $G := \widetilde{K}$ el grupo de cobertura universal de un grupo de Lie semisimple compacto $K$ , lo que demuestra que también es compacto.