En la mecánica cuántica no relativista, estamos tratando con un problema que involucra una partícula en un espacio unidimensional, y se le ha dado el potencial y se lee:
$$V(x)~=~A'(x)^2-\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}A''(x).\tag{1}$$
Los términos cinéticos son los habituales $p^2/2m$ . ¿Cómo puedo demostrar que el hamiltoniano del sistema es semidefinido positivo?
Pista: Piensa en la forma de escribir el hamiltoniano como
$$\hat{H}~=~ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} +V(x)~=~\hat{B}^{\dagger}\hat{B} ~\geq~0 $$
para algún operador diferencial de primer orden
$$\hat{B}~=~a(x)\frac{d}{dx} +b(x) ,$$
con funciones adecuadas $a(x)$ y $b(x)$ . Aquí el potencial $V(x)$ viene dada por la fórmula (1). ¿Puedes ver lo que el operador $\hat{B}$ ¿debería/debe ser?
Por cierto, la función $A(x)$ se conoce como superpotencial, cf. por ejemplo la Ref. 1, que también explica la conexión con SUSY QM.
Referencias:
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