Cómo codificar una función continua mediante un número real

Question

En su libro, Reverse Mathematics, John Stillwell dice (pg. 44) "que cada función continua en R puede ser codificada por un conjunto de números naturales y, por tanto, el proyecto de aritmetización se extiende al menos hasta las funciones continuas. Este notable resultado se debe a Borel (1898), p. 109, y se deduce que cada función continua puede ser codificada por un número real".

El libro citado de Borel está en francés.

Puedo seguir que una función continua en R puede ser codificada por un conjunto de números naturales. Pero, ¿cómo se pasa de ese conjunto a un número real específicamente?

Por supuesto, he intentado buscar este resultado en el innertube pero, por desgracia, no he llegado a ninguna parte. Ni siquiera estoy seguro de qué categoría en matemáticas para empezar a reducir la búsqueda.

Además, dado el número real, ¿es posible invertir la codificación para recuperar la función continua? ¿Todo número real representa una función continua? ¿Qué libro(s) está(n) disponible(s) para aprender más sobre este intrigante resultado?

Answer 1

Creo que se trata de decir que hay una biyección entre $C^0(\mathbb{R}),$ el conjunto de funciones continuas sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ . En otras palabras, $C^0(\mathbb{R})$ es incontable.

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Sabemos gracias al Teorema de Aproximación de Weierstrass que el conjunto de polinomios es denso en el conjunto de funciones continuas (ambas sobre los reales).