Ejemplo de transformación no lineal de una variable aleatoria

Question

Como introducción a la "Transformación de Variables Aleatorias" en mis notas de clase, tenemos el siguiente ejemplo:

$\textit{Suppose $ Y $ has density function $ f(y) = 2y $, for $ 0<y<1 $. Let $ U = Y^2 $. What is the pdf of $ U $?}$

La solución es la siguiente:

$\textit{Let $ G $ and $ g $ be the cdf and pdf of $ U $. Then}$

$$\textit{ $ G(u) = P(U\leq u) = P(Y^2 \leq u) = P(Y \leq\sqrt{u}) = F(\sqrt{u}) $}$$

$$\textit{$ g(u) = \frac{dG(u)}{du} = \frac{dF(\sqrt{u})}{du} = f(\sqrt{u})\frac{1}{2sqrt{u}} = 2\sqrt{u}{frac{1}{2sqrt{u}}= 1\, \, \, \, \, \, \, \, $ for $ \,\,\,\,\,\,\,\,0<u<1 $}$$

$\textit{So $ U $ is a uniform random variable on $ (0,1) $}$

Creo que entiendo la mayor parte. Pero tengo dos dudas:

1. ¿Tenemos $0<u<1$ porque para $y\in(0,1)$ tenemos que $y^2 = u \in (0,1)$ ? ¿O hay otra razón? Tal vez sólo decidimos asignar ese intervalo a $u$ ?
2. ¿Cómo podemos concluir que $U$ es una variable aleatoria uniforme? ¿Porque el pdf es constante?

Gracias

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta, sí : $0 < y < 1$ implica claramente $0 < y^2 < 1$ Por lo tanto $0 < u < 1$ .

En cuanto a la segunda, $U$ es uniforme en $(0,1)$ porque vimos que $f_U(u) = 1$ para $0 < u < 1$ que es precisamente la definición de una variable aleatoria uniforme (continua) en este intervalo.