Ideal de suma directa de anillos

Question

Si $R$ es un anillo y $S_1, S_2$ es un subring de $R$ tal que $R=S_1\oplus S_2$ , ¿Existe alguna relación entre el ideal de $R$ y el ideal de $S_1,S_2$ ? En particular me refiero a bajo qué condición podemos concluir que todo ideal de $R$ es la suma directa de los ideales de $S_1,S_2$ ?

Answer 1

Set $e_1=(1,0)$ y $e_2=(0,1)$ . Sea $I$ sea un ideal de $R$ Entonces $e_1I$ y $e_2I$ son ideales de $S_1$ y $S_2$ respectivamente y es trivial verificar que $e_1I\oplus e_2I=I$ .

Obsérvese que la conmutatividad de $S_1$ y $S_2$ no es necesario. La existencia de $1$ es, por supuesto, necesario, de lo contrario el resultado es falso: basta con considerar un producto de dos copias de un anillo cero y la diagonal.