Problema del mapeo de Joukowski de un círculo en una elipse

Question

La cartografía de Joukowski está definida por

$$\displaystyle w = J(z) = \frac{1}{2} \left(z + \frac{1}{z}\right)$$

donde $ z = x + yi $

Demuestra que

$J$ mapea el círculo $|z| = r (r > 0, r \neq 1)$ en la elipse

$$ \frac{u^2}{\left[\frac{1}{2}\left(r + \frac{1}{r}\right)\right]^2} +\frac{v^2}{\left[\frac{1}{2}\left(r - \frac{1}{r}\right)\right]^2} = 1 $$

que tiene un foco en $\pm 1$ .

¿Habría aprovechado el hecho de que $z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ y $ u + iv = w = J(z) = \frac{1}{z} \left(z + \frac{1}{z}\right) = \frac{1}{z} \left(re^{i\theta} + \frac{1}{r} e^{-i\theta}\right)$ ?

Answer 1

SUGERENCIA... Ya casi has llegado: tienes $$u+iv=\frac 12\left(r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{1}{r(\cos\theta+i\sin\theta)}\right)$$ $$=\frac 12\left(r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac 1r(\cos\theta-i\sin\theta)\right)$$

Así que ahora puedes conseguir $\cos\theta$ y $\sin\theta$ en términos de $u$ y $v$ y utilizar la identidad pitagórica para eliminar $\theta$