Dejemos que $X:=\{ x \in \ell^{1}:\vert\vert\vert x \vert \vert \vert< \infty\}$ y que $\vert\vert\vert x \vert \vert \vert=\sum\limits_{j=1}^{\infty}j\vert x_{j}\vert$
$a.$ Demuestra que $(X, \vert\vert\vert \cdot \vert \vert \vert)$ es un espacio de Banach
$b.$ Demuestra que $(X, \vert\vert \cdot \vert \vert_{1})$ no es un espacio de Banach.
Ideas:
$a.$ Dejemos que $(x^{n})_{n\in\mathbb N}\subset X$ sea una sucesión de cauchy de secuencias. Esto significa que para una $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb N$ de modo que para cualquier $n> m \geq N$ : $\vert\vert\vert x^{n}-x^{m} \vert \vert \vert=\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\vert x_{i}^{n}-x_{i}^{m}\vert<\epsilon$
Por lo tanto, el $\vert x_{i}^{n}-x_{i}^{m}\vert < \frac{\epsilon}{i}\leq\epsilon$ Por lo tanto tenemos una secuencia de Cauchy $(x_{i}^{n})_{n \in \mathbb N}$ para un arbitrario, pero fijo $i \in \mathbb N$ . Ahora mi idea (y sólo una), es utilizar ese hecho que $(x_{i}^{n})_{n \in \mathbb N}$ es una sucesión de Cauchy oa un espacio completo (cuando se equipa con la norma euclidiana), por lo tanto un límite puntual $x_{i}:=\lim\limits_{n \to \infty}x_{i}^{n}$ existe para que tengamos un candidato ideal para un límite en $(X, \vert\vert\vert \cdot \vert \vert \vert)$ , a saber $x:=(x_{i})_{i \in \mathbb N}$
Pero cuanto más lo pienso, menos sentido tiene que $\vert\vert\vert x \vert \vert \vert<\infty$ Sin embargo, $\vert \vert x \vert \vert_{1}=\infty$ dadas las definiciones de las normas, y que $j\vert x_{j}\vert\geq\vert x_{j}\vert$ para $j \in \mathbb N$
Cualquier ayuda es muy apreciada