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Demuestra que $(X, \vert\vert\vert \cdot \vert \vert \vert)$ es un espacio de Banach y que $(X, \vert \vert \cdot\vert \vert_{1})$ no lo es)

Dejemos que $X:=\{ x \in \ell^{1}:\vert\vert\vert x \vert \vert \vert< \infty\}$ y que $\vert\vert\vert x \vert \vert \vert=\sum\limits_{j=1}^{\infty}j\vert x_{j}\vert$

$a.$ Demuestra que $(X, \vert\vert\vert \cdot \vert \vert \vert)$ es un espacio de Banach

$b.$ Demuestra que $(X, \vert\vert \cdot \vert \vert_{1})$ no es un espacio de Banach.

Ideas:

$a.$ Dejemos que $(x^{n})_{n\in\mathbb N}\subset X$ sea una sucesión de cauchy de secuencias. Esto significa que para una $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb N$ de modo que para cualquier $n> m \geq N$ : $\vert\vert\vert x^{n}-x^{m} \vert \vert \vert=\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\vert x_{i}^{n}-x_{i}^{m}\vert<\epsilon$

Por lo tanto, el $\vert x_{i}^{n}-x_{i}^{m}\vert < \frac{\epsilon}{i}\leq\epsilon$ Por lo tanto tenemos una secuencia de Cauchy $(x_{i}^{n})_{n \in \mathbb N}$ para un arbitrario, pero fijo $i \in \mathbb N$ . Ahora mi idea (y sólo una), es utilizar ese hecho que $(x_{i}^{n})_{n \in \mathbb N}$ es una sucesión de Cauchy oa un espacio completo (cuando se equipa con la norma euclidiana), por lo tanto un límite puntual $x_{i}:=\lim\limits_{n \to \infty}x_{i}^{n}$ existe para que tengamos un candidato ideal para un límite en $(X, \vert\vert\vert \cdot \vert \vert \vert)$ , a saber $x:=(x_{i})_{i \in \mathbb N}$

Pero cuanto más lo pienso, menos sentido tiene que $\vert\vert\vert x \vert \vert \vert<\infty$ Sin embargo, $\vert \vert x \vert \vert_{1}=\infty$ dadas las definiciones de las normas, y que $j\vert x_{j}\vert\geq\vert x_{j}\vert$ para $j \in \mathbb N$

Cualquier ayuda es muy apreciada

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user10354138 Puntos 1302

Para (a), observe que $\ell_1\to X$ , $(a_n)\mapsto (n^{-1}a_n)$ es una isometría $(\ell_1,\lVert-\rVert_1)\to(X,\lVert\!\lvert-\rvert\!\rVert)$ hace que la cuestión sea bastante trivial, pero copiemos la prueba de $\ell_1$ siendo completo aquí.

Para demostrar que $(x_i)\in X$ , dado $\varepsilon>0$ arbitraria, para cada $N\in\mathbb{N}$ tenemos $$\require{color} \sum_{j=1}^N j\lvert x_j\rvert\leq\underbrace{\color{red}\sum_{j=1}^Nj\lvert x_j-x_j^{(m)}\rvert}_{<\varepsilon} + \underbrace{\color{blue}\sum_{j=1}^N j\lvert x_j^{(m)}\rvert}_{\leq M} $$ donde $M=\sup\{\lVert\!\lvert x^{(m)}\rvert\!\rVert\colon m\in\mathbb{N}\}<\infty$ (ya que $(x^{(m)})$ es Cauchy en $X$ ) y el término rojo es $<\varepsilon$ para un tamaño suficientemente grande $m$ ya que sólo estamos tomando un número finito de componentes límite $j=1,2,\dots,N$ . Por lo tanto, $$ \sum_{j=1}^Nj\lvert x_j\rvert\leq M+\varepsilon $$ por cada $N$ . Ahora toma $N\to\infty$ muestra $x\in X$ .

Por supuesto, finalmente tenemos que mostrar $x^{(n)}\to x$ . ¿Puedes hacerlo?

Para (b), observe que el espacio de secuencias eventualmente nulas $c_{00}$ está contenida en $X$ . Así que $$ x^{(n)}_j=\begin{cases} j^{-2} & j<n\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ es una secuencia en $X$ . Esta secuencia converge claramente a la secuencia $(j^{-2})$ en $\ell_1$ desde $\sum_j j^{-2}<\infty$ pero esta secuencia no está en $X$ .

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