¿De qué manera puedo factorizar las densidades condicionales de múltiples variables aleatorias?

Question

Por ejemplo, ¿de qué manera puedo factorizar una densidad condicional del tipo $f(x,y|p,q)$ ?

Si $x$ y $y$ son independientes, ¿es cierto que $f(x,y|p,q)=f(x|p,q)f(y|p,q)$ ?

¿Qué tal si $f(x,y|p,q)=f(x|y,p,q)f(y)$ ¿es esto cierto?

Answer 1

En general, se puede factorizar una densidad conjunta como $$ f(x, y) = f(x \mid y)f(y) $$ Por lo tanto, de manera similar, $$ f(x, y \mid p) = f(x \mid y, p)f(y\mid p) $$ Y $$ f(x, y \mid p, q) = f(x \mid y, p, q)f(y \mid p, q) $$ Así que para criticar los ejemplos que has puesto, no tienes $$ f(x, y \mid p, q) = f(x \mid p, q)f(y \mid p, q) $$ a menos que $x$ y $y$ son condicionalmente independientes, es decir, no basta con que sean independientes. Tampoco tiene $$ f(x, y \mid p, q) = f(x \mid y, p, q)f(y) $$ a menos que $f(y \mid p, q) = f(y)$ es decir $y$ es independiente de $p, q$ .