Hace poco leí sobre cómo construir $\Bbb R$ de $\Bbb Q$ y las secuencias de Cauchy en $\Bbb Q$ . Mi libro dice que las secuencias de Cauchy construidas en $\Bbb Q$ no todos tienen límites en $\Bbb Q$ y, por tanto, definiendo una relación de equivalencia sobre todas las secuencias en $\Bbb Q$ por el resultado del criterio de Cauchy en el conjunto de los números reales, $\Bbb R$ .
Mi pregunta es: ¿por qué las secuencias de Cauchy en $\Bbb Q$ no todos tienen un límite en $\Bbb Q$ ?
Lo sabemos porque tenemos un montón de ejemplos de secuencias racionales de Cauchy que pueden demostrar que no convergen a límites racionales.
Ejemplo . La prueba de que no hay ningún número racional $r\in\Bbb Q$ con $r^2=2$ es bien conocido . Esto se cita a menudo como "la raíz cuadrada de $2$ no es racional".
Sin embargo, podemos encontrar una secuencia de Cauchy $(r_n)$ de números racionales para que $r_n^2$ converge a $2$ . ¿Cuál debe ser el límite de esta secuencia? Ciertamente no puede ser ningún número racional. Así que tienes las siguientes opciones:
La primera opción no nos gusta porque queremos tratar con espacios completos .
Considere la secuencia $$\begin{aligned} a_0 &= 1\\ a_{n+1} &= \frac12\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right) \end{aligned}$$ Se puede demostrar que esta secuencia es una secuencia de Cauchy. Sin embargo su límite, si existe, debe cumplir la condición $$a = \frac12\left(a+\frac{2}{a}\right)$$ lo que equivale a $$a^2=2$$ Pero no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea $2$ .
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