¿Por qué un haz tangente tiene dimensión 2n en lugar de n?

Question

Dejemos que $n=dim(T_pM)$ por cada $p\in M$ , donde $M$ es un colector suave. Entiendo que especificar $p$ no es suficiente para determinar un elemento de $TM$ pero ¿qué pasa si especificamos sólo $v\in T_pM\subset TM$ ? Dado que los espacios tangentes son disjuntos, la especificación de $v$ es todo lo que necesitamos para determinar el elemento respectivo de $TM$ que es $v$ mismo. Por lo tanto, no entiendo por qué $dim(TM)=2n$ .

PD: Sé que hay algunos posts relacionados por aquí, pero ninguno ha respondido a mi pregunta.

Answer 1

Existen varias definiciones del espacio tangente. Una posible es, para $p \in M$ : $$T_p M = \{ \gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M \mid \gamma(0) = p \} / \sim$$ donde $\sim$ es, informalmente, la relación de equivalencia $\gamma_1 \sim \gamma_2 \iff \gamma_1'(0) = \gamma_2'(0)$ ( $\gamma'(0)$ en realidad no está bien definida, sólo lo está si se elige un gráfico alrededor de $p$ pero dados dos gráficos, las derivadas son iguales en uno si son iguales en el otro, por lo que la relación de equivalencia está bien definida).

Como conjunto, el espacio tangente $TM$ se define entonces como la unión de todas las $T_pM$ es decir $$TM = \bigcup_{p \in M} T_p M.$$

Utilizando un gráfico, es fácil ver que si $M$ es un $n$ -entonces $T_p M$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ . Y un vector tangente $v = [\gamma]$ lleva la información de qué punto $p$ yace encima, porque $p = \gamma(0)$ (y esto es independiente del representante de la clase de equivalencia). No existe un vector tangente "desnudo" que de alguna manera sea tangente al colector sin especificar en qué punto lo es. *

Pero entonces, ¿por qué no es $TM$ de dimensión $n$ ¿también? El caso es que hay una ton de espacios vectoriales pegados para formar $TM$ de hecho, uno por cada punto de $M$ . Al igual que $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ se compone de un ton de espacios vectoriales de dimensión uno pegados entre sí (por ejemplo, el $\{x\} \times \mathbb{R}$ para $x \in \mathbb{R}$ ) y tiene dimensión dos, no podemos esperar que $TM$ para tener sólo la dimensión $n$ .

Heurísticamente, como explica Lee Mosher en los comentarios, tenemos $n$ grados de libertad para elegir el punto $p \in M$ y luego otro $n$ grados de libertad para elegir un vector tangente $v \in T_pM$ . Así que en total $TM$ debe tener la dimensión $2n$ .

Para que esto sea preciso, primero hay que dar una topología a $TM$ ; de manera informal, $[\gamma_1]$ y $[\gamma_2]$ estará "cerca" si 1/ $\gamma_1(0)$ y $\gamma_2(0)$ están "cerca" en $M$ y si en un gráfico, $\gamma'_1(0)$ y $\gamma'_2(0)$ están cerca en $\mathbb{R}^n$ . Tu libro de texto de topología diferencial probablemente lo precisa. Entonces tienes que cocinar gráficos para $TM$ y, de hecho, si $U \subset M$ es un gráfico $U \cong \mathbb{R}^n$ entonces $TU \subset TM$ será homeomorfo a $U \times \mathbb{R}^{n} \cong \mathbb{R}^{2n}$ $\gets$ aquí es donde la dimensión $2n$ ¡aparece! A continuación, es necesario comprobar que el cambio de los mapas de la carta son suaves.

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* Creo que una posible fuente de confusión en esto viene de los colectores enmarcados. Si su colector $M$ está enmarcado, entonces se tiene un isomorfismo de haz $\phi : TM \to M \times \mathbb{R}^n$ . Es entonces tentador pensar en $x \in \mathbb{R}^n$ como un vector tangente a $M$ . Esto es quizás lo que algunas personas en este hilo están llamando un vector "desnudo", o un vector "no etiquetado". Pero en realidad, este $x$ es un vector (tangente) campo dado por $$\xi_x(p) = \phi(p,x) \in TM.$$ Así que no es de extrañar que este "vector tangente" no parezca estar sobre ningún punto en particular, porque no es un vector tangente: es algo que asocia un vector tangente a cada punto (y de forma suave). Este es el caso, por ejemplo, de $\partial/\partial x$ que en realidad es un vector tangente campo en $\mathbb{R}$ y no sólo un vector tangente.

Sin embargo, en general los colectores no están enmarcados, por lo que este tipo de confusión no puede surgir. Si defines cuidadosamente el espacio tangente, verás que un vector tangente tiene la información de un punto de $M$ y algún tipo de vector tangente en un gráfico o algo así. Eso es $2n$ coordenadas de información, por lo que $\dim TM = 2n$ .

Answer 2

Si todo lo que se especifica es $v$ No has escogido un punto en $TM$ , has escogido (simultáneamente) un punto en cada $T_pM$ . (Edición: Suponiendo que ese punto $v$ realmente está en cada $T_pM$ .) Para elegir un solo punto en $TM$ , tienes que elegir un $p \in M$ y luego un $v \in T_pM$ (o viceversa, en cualquier caso, dos opciones).

Ejemplo: $T\Bbb{R} \cong \Bbb{R}^2$ y para elegir un punto en el plano se necesitan dos coordenadas. (Esta relación de producto cartesiano entre $M$ y $TM$ es relativamente poco común, pero es fácil de ver para los espacios euclidianos).

Editar: Más detalles: A $T_pM$ es un espacio vectorial. Contiene vectores. No contiene vectores etiquetados. En particular, los elementos de un $T_pM$ no indican de ninguna manera a qué $p$ se asocian. $TM$ es la unión disjunta $\sqcup_{p \in M} T_pM$ . Una implementación estándar de la teoría de conjuntos de la unión disjunta es como el conjunto de pares ordenados $(p, v)$ (el $p$ s son el índice de la unión disjunta). Dado que un determinado vector tangente puede estar en varios de estos pares, no basta con indicar el $v$ . Debe indicar ambos $p$ y $v$ para elegir un elemento específico de $TM$ .