Prueba de cierre de $\mathbb{Z}^+$ bajo la multiplicación

Question

Entiendo que $\mathbb{Z}^+$ se dice que es cerrado bajo la multiplicación porque $a\in \mathbb{Z}^+, b\in \mathbb{Z}^+\implies a\cdot b\in \mathbb{Z}^+$ pero mi pregunta es: ¿es esto suficiente para ser considerado una prueba?

Aclaración: Supongo que realmente me pregunto si es necesario/posible probar $a\cdot b\in \mathbb{Z}^+$

Answer 1

Es importante entender que ninguna prueba existe en el vacío: una prueba sólo existe en el contexto de los axiomas y definiciones que se supone que ya son verdaderos.

En su caso, debe especificar qué definiciones y axiomas utiliza para los números enteros y naturales. En la aritmética de Peano, la multiplicación se define mediante la relación $$x\times 0 = 0$$ $$x\times S(y) = x + x\times y.$$ Entonces puedes demostrar que la multiplicación está bien definida para cualquier par de números naturales utilizando la inducción y el hecho de que la suma está bien definida (que puedes demostrar por separado).

He visto otras axiomizaciones, donde la existencia de los números naturales como un sembrado bien ordenado contenido en $\mathbb{Z}$ es en sí mismo un axioma de los números enteros. Entonces no hay nada que demostrar.

Answer 2

Probar el cierre sólo tiene sentido cuando se considera algo como un subconjunto de una estructura mayor, como probar un subconjunto $H$ de un grupo finito $G$ es cerrado y, por tanto, un subgrupo. Si sólo utilizas la construcción de números naturales, entonces la operación de multiplicación es por definición cerrada, y sólo tienes que demostrar que está bien definida.

Si se define $\mathbb{Z}^+$ como la intersección de todos los subconjuntos inductivos de $\mathbb{R}$ Es decir: $$\mathbb{Z}^+=\bigcap\{X: X\subseteq \mathbb{R},\,1\in X,\,n\in X \implies n+1\in X\}$$ puedes utilizar la definición de suma y multiplicación de $\mathbb{R}$ para preguntar si $\mathbb{Z}^+$ está cerrado en relación con esas operaciones.

Para demostrar el cierre de la adición considere el conjunto $$A=\{x : x\in\mathbb{Z}^+; y\in\mathbb{Z}^+\implies x+y\in\mathbb{Z}^+\}$$ Porque $\mathbb{Z}^+$ es un conjunto inductivo $1\in\mathbb{Z}^+$ y $y\in\mathbb{Z}^+\implies 1+y=y+1\in\mathbb{Z}^+$ Así que $1\in A$ . Si $n\in A$ entonces $n+1\in\mathbb{Z}^+$ y $y\in\mathbb{Z}^+\implies (n+1)+y=n+(1+y)\in\mathbb{Z}^+$ Así que $n+1\in A$ y vemos que $A$ es igual a todo $\mathbb{Z}^+$ (porque es un subconjunto inductivo de la intersección de todos los conjuntos inductivos), lo que demuestra el cierre de la adición.

A continuación, para demostrar el cierre de la multiplicación, considere el conjunto $$B=\{x : x\in\mathbb{Z}^+; y\in\mathbb{Z}^+\implies x\cdot y\in\mathbb{Z}^+\}$$

Utilizando de nuevo el hecho de que $\mathbb{Z}^+$ es inductivo, vemos que $1\in\mathbb{Z}^+$ y $y\in\mathbb{Z}^+\implies 1\cdot y=y\in\mathbb{Z}^+$ Así que $1\in B$ . Suponiendo que $n\in B$ tenemos $n+1\in\mathbb{Z}^+$ y $y\in\mathbb{Z}^+\implies (n+1)\cdot y= n\cdot y + y\in\mathbb{Z}^+$ utilizando la suposición y el hecho de que ya hemos demostrado el cierre de la adición, por lo que $n+1\in B$ y hemos demostrado el cierre de la multiplicación.