Por qué $\zeta(-2) $ no es $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{-2}}$ ?

Question

Dejemos que $\zeta(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$ una fórmula estándar.

Estoy confundido si me dices: ¿esta serie: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1} {n^{s}}$ ¿converger?

Te responderé: esta serie es divergente. Pero si usted dice: $\zeta(-2)$ lo será: $\zeta(-2)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{-2}}=0$ . Será convergente. Entonces, ¿por qué?

Answer 1

Cuando la gente dice "la función zeta tiene ceros en los números enteros negativos", están hablando de la continuación analítica de la función zeta de Riemann, y la fórmula ingenua sólo funciona para Re(s)>1

Answer 2

Ver este que da una ecuación funcional para $\zeta{(s)}$ : $$\zeta{(s)} = 2^s \pi^{s-1} \sin{\left(\frac{\pi s}{2}\right)} \Gamma{(1-s)} \zeta{(1-s)}$$ Todos los enteros pares negativos son "ceros triviales" de la función zeta, porque $\sin{\left(\frac{\pi s}{2}\right)}$ sería igual a $0$ .