¿Cómo se calcula esta expectativa?

Question

$X,Y$ son RV exponenciales independientes con parámetro $\lambda,\mu$ . Cómo calcular

$$ E[\min(X,Y) \mid X>Y+c] $$

Answer 1

El resultado es independiente de $c\geqslant0$ .

Para ver esto, recordemos que, para toda función medible $u$ , $$ \mathbb E(u(Y);X\gt Y+c)=\int_0^{+\infty} u(y)\mathbb P(X\gt y+c)\mathrm d\mathbb P_Y(y)=\mathbb E(u(Y)\mathrm e^{-\lambda(Y+c)}). $$ Usando esto para $u:y\mapsto y$ y para $u:y\mapsto1$ y cancelando el factor común $\mathrm e^{-\lambda c}$ rinde $$ \mathbb E(Y\mid X\gt Y+c)=\frac{\mathbb E(Y\mathrm e^{-\lambda Y})}{\mathbb E(\mathrm e^{-\lambda Y})} $$ El denominador es $$ \mathbb E(\mathrm e^{-\lambda Y})=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\lambda y}\mu\mathrm e^{-\mu y}\mathrm dy=\frac{\mu}{\mu+\lambda}. $$ El numerador es menos la derivada del denominador con respecto a $\lambda$ por lo que la relación es $$ \mathbb E(Y\mid X\gt Y+c)=\frac{\mu/(\mu+\lambda)^2}{\mu/(\mu+\lambda)}=\frac1{\mu+\lambda}. $$

Answer 2

Suponiendo que $c \ge 0$ y así $Y \lt X$ Esto equivale a $$E[Y\mid X\gt Y+c]$$ $$= \frac{\int_{y=0}^{\infty} y \, \mu \exp(-\mu y)\, \int_{x=y+c}^\infty \lambda \exp(- \lambda x)\, dx \, dy}{\int_{y=0}^{\infty} \mu \exp(-\mu y)\, \int_{x=y+c}^\infty \lambda \exp(- \lambda x)\, dx \, dy}$$