¿Hoja de ruta para la geometría algebraica?

Question

Hola, Lo siento si esta pregunta no está publicada correctamente. Espero que lo esté (ya que se han permitido otras preguntas relacionadas con las hojas de ruta). Ahora a mi pregunta:

Por lo que he oído de profesores y demás, la geometría algebraica parece una rama interesante de las matemáticas. Me gustaría aprender algunos resultados básicos y quizás hacer algún tipo de tesis dentro de unos años sobre el tema. Así que, lo que tengo es curiosidad por saber si tenéis algún consejo sobre qué libros leer. Digamos que uno ha leído Álgebra de Artin y Temas de Álgebra de Herstein, y también tiene los cursos básicos de análisis real y topología, variables complejas, etc., ¿dónde debería ir a aprender? ¿Qué libros? También tengo curiosidad por saber si la geometría algebraica (a un "nivel fácil") requiere también conocimientos profundos sobre otros campos de las matemáticas, de modo que uno podría tener que leer libros que al principio parecen no tener relevancia para la geometría algebraica.

Saludos cordiales.

Answer 1

Creo que ha habido preguntas similares, pero no una exactamente de este tipo.

Para responder a tu última pregunta, es cierto que hay que conocer muchas áreas de las matemáticas para poder profundizar en la geometría algebraica. Por otro lado, para tener una base en este campo, sólo es necesario tener conocimientos básicos de álgebra abstracta.

Dicho esto, voy a dar mis recomendaciones.

Si ya ha realizado variables complejas, y no estoy seguro de que todos los estudiantes en su posición hayan completado esto, recomiendo Curvas algebraicas y superficies de Riemann por Rick Miranda. Aunque este libro también desarrolla un punto de vista analítico complejo, también desarrolla los fundamentos de la teoría de las curvas algebraicas, así como eventualmente llega a la teoría de la cohomología de gavillas. Varios estudiantes de posgrado me han informado de que este libro les ayudó mucho a la hora de leer a Hartshorne más adelante.

Si quiere un libro muy elemental, debería optar por el libro de Miles Reid Geometría algebraica de grado . Este libro, como indica su título, tiene muy pocos requisitos previos y desarrolla el álgebra conmutativa necesaria a medida que avanza. Los estudiantes más avanzados pueden quejarse de que este libro no llega muy lejos, pero creo que puede satisfacer muy bien lo que se busca.

Otro libro que quizás quiera consultar es el libro Curvas algebraicas de William Fulton, que afortunadamente puede encontrar en línea de forma gratuita.

Si no le importa un enfoque computacional, y además un libro que requiere aún menos requisitos previos algebraicos de los que parece tener, podría consultar Ideales, variedades y algoritmos por Cox y O'Shea.

También se supone que la sugerencia de Thierry Zell es buena.

Dicho esto, si decides que te gusta la geometría algebraica y decides profundizar en el tema, te recomiendo encarecidamente que aprendas algo de álgebra conmutativa (como a través de Commutative Algebra de Atiyah y Macdonald). Pero por el momento, creo que las recomendaciones anteriores te vendrán bien.

Answer 2

Tuve la oportunidad de impartir un curso de licenciatura en geometría algebraica, y déjenme decirles que encontrar un libro de ese nivel no fue fácil. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la mayoría de los libros no son autocontenidos y que el álgebra conmutativa necesaria se subcontrata a referencias externas.

Para una primera prueba, me decantaría por Una invitación a la geometría algebraica por Karen Smith et al. (Springer) No está realmente diseñado para estudiantes de grado, y no estoy seguro de cómo funcionaría como libro de texto para un curso; más bien, fue escrito para personas con cierta madurez matemática que no saben nada sobre el tema y quieren aprender lo básico. Lo recomiendo porque es corto, reciente, bueno para el autoestudio, contiene mucho del material clásico, y puede darte una idea del sabor del tema.

Hay toneladas de libros de geometría algebraica, así que estoy seguro de que habrá otras buenas recomendaciones.

Answer 3

Prueba con Shafarevich's Geometría algebraica básica I . Incluye una buena cantidad de ejemplos de geometría en la exposición, así como el necesario álgebra conmutativa. También me gusta que las diferenciales, los divisores y otros artilugios se introduzcan sin esquemas (por supuesto, eventualmente deberías aprender sobre esquemas). El libro avanza con bastante rapidez, pero si has pasado por Artin y Herstein, deberías encontrarlo accesible.

Answer 4

Existe un excelente libro sobre geometría algebraica titulado Geometría algebraica: Un primer curso por Joe Harris. Este libro, sin embargo, hace hincapié en las raíces clásicas de la asignatura, pero si todavía no se ha visto demasiado la geometría algebraica, merece la pena conseguir este libro y leer algunas conferencias. (El libro está dividido en "conferencias" en lugar de "capítulos".) Hay muchas construcciones hermosas en la geometría algebraica clásica que pueden entenderse sin demasiados antecedentes (y que sientan las bases de algunos aspectos de la geometría algebraica moderna) y esto puede quizás darle una indicación aproximada de las intuiciones geométricas en la geometría algebraica. Y, en mi opinión, el libro hace un excelente trabajo para transmitir la belleza y la elegancia de la geometría algebraica.

Los requisitos previos para leer este libro (según Harris) son: álgebra lineal, álgebra multilineal y álgebra moderna. Sin embargo, dado que se trata de un libro de "Textos de Posgrado en Matemáticas", hay algunos puntos en los que es muy útil (pero no esencial hasta el punto de que no se pueda leer el libro de otro modo) tener conocimientos básicos de álgebra conmutativa, análisis complejo y topología de conjuntos de puntos. (Por ejemplo, datos básicos sobre espacios topológicos, anillos locales, construcciones básicas en álgebra conmutativa, funciones holomorfas, etc.) El libro de Atiyah y Macdonald an Introducción al álgebra conmutativa debería proporcionar una preparación más que suficiente. (También puede leer simultáneamente álgebra conmutativa, si así lo prefiere).

Dado que eres un estudiante de grado, no deberías preocuparte demasiado por aprender el "material de base" antes de ver al menos en qué consiste la geometría algebraica clásica. Si en algún momento decide especializarse en el tema, tendrá que aprender las "herramientas modernas" como, por ejemplo, esquemas, gavillas y cohomología de gavillas. El "libro clásico" para esto es el de Robin Hartshorne Geometría algebraica pero como eso requiere una sólida formación en álgebra conmutativa (o al menos la madurez matemática para aceptar hechos sin pruebas), quizá quieras probar con otros libros. (Pero éste es, me apresuro a añadir, un libro excelente si tienes la formación necesaria para entenderlo).

Como me recomendó Bcnrd (en MathOverflow), el libro de Qing Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas parece ser un excelente libro sobre el tema. La mayor parte del material de base del álgebra conmutativa se desarrolla a partir de cero, y los seis primeros capítulos proporcionan una buena introducción a las "herramientas modernas". Los tres últimos capítulos se centran más en el lado aritmético de la geometría algebraica, pero siempre se puede omitir si se desea. (Pero si te interesa la teoría de los números, no dudes en echarle un vistazo).

Sucintamente, lo recomiendo: Echa un vistazo a Atiyah y Macdonald y al menos lee los primeros capítulos. (El libro tiene unas 120 páginas, así que cubrir los primeros capítulos no es demasiado difícil. Aunque hay que estar advertido: Algunos dicen que Atiyah y Macdonald es "denso", pero a mí personalmente me pareció un libro muy legible y creo que a la mayoría también le parece así). Entonces deberías tener la base adecuada para leer a Harris y espero que eso te muestre lo fascinante que es el tema de la geometría algebraica. Buena suerte.

Answer 5

En términos generales, la geometría algebraica es el estudio geométrico de las soluciones de las ecuaciones polinómicas. Para empezar, se empezaría por trabajar con soluciones en espacio afín $\mathbb{A}_k^n= k^n$ , donde $k$ es un campo algebraicamente cerrado (por ejemplo $\mathbb{C})$ . Finalmente, resulta ventajoso añadir puntos en el infinito trabajando en espacio proyectivo $\mathbb{P}^n_k=\mathbb{A}^n_k\cup (\text{hyperplane at }\infty)$ . Después de un tiempo, puedes ir más allá incluso de esto.

Todo esto se explica en los libros básicos de geometría algebraica. Aunque hay un buen número de ellos, muy pocos están explícitamente en el nivel de licenciatura. Si tuviera que hacer una lista, probablemente sería similar a la de Davidac897. De todos ellos, recomendaría el libro de Reid "Undergraduate Algebraic Geometry" de Reid como un buen punto de partida: es corto, directo y con mínimos prerrequisitos. Una vez que lo hayas superado, tendrás una base suficiente para abordar algo más ambicioso, si todavía te apetece.

Otro pensamiento. Tengo la sensación de que estás planeando leer esto por tu cuenta. Las cosas son más fáciles si encuentras un grupo de compañeros para "compartir el dolor". Diviértete.