En la siguiente página de uno de los cuadernos perdidos de Ramanujan, éste encontró una fórmula para sumas de cubos como la famosa $1729$ .
Que se encuentra en la esquina inferior derecha. Pero también en esa página, es una fórmula:
Si $$\sum_{n\geq0}a_nx^n=\frac {1+53x+9x^2}{1-82x-82x^2+x^3}\\\sum_{n\geq0}b_nx^n=\frac {2-26x-12x^2}{1-82x-82x^2+x^3}\\\sum_{n\geq0}c_nx^n=\frac {2+8x-10x^2}{1-82x-82x^2+x^3}$$ Entonces $$a_n^3+b_n^3=c_n^3+(-1)^n$$
Mi pregunta: ¿Cómo lo demostraría?
I hizo Fíjate en una cosa: parecía que Ramanujan utilizaba funciones generadoras. Donde dada una secuencia, pretendes que los números son coeficientes de un polinomio, y entonces puedes colapsar eso en una sola expresión.
Por ejemplo: Los números de conteo $1,2,3,4,5,\ldots$ puede representarse como $$1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\frac {1}{(1-x)^2}\tag{1}$$ Pero si se utilizan funciones generadoras, entonces no se puede sustituir esa $x$ con cualquier cosa, lo que hace que ambos sean poderosos, pero peligrosos. Entonces, ¿qué sentido tendría utilizar funciones generadoras?
