buscando pares de enteros $(a,c)$ tal que $4a^2 + 8c^2 - 4c + 1$ es un cuadrado perfecto

Question

Hola. Estoy buscando encontrar pares de enteros $(a,c)$ tal que $4a^2 + 8c^2 - 4c +1$ es un cuadrado perfecto.

La suma es impar, por lo que he puesto la suma igual a $(2n+1)^2$ para cancelar los 1s y termino con $\boxed{a^2 + 2c^2 - c = n^2 + n}$ .

Todavía no he encontrado una técnica válida para desglosar esto pero creo que podría ser una ecuación de pell's disfrazada. Me pregunto si alguien puede darme alguna idea sobre este problema. Gracias.

Answer 1

¿Me estoy perdiendo algo? Si escribes

$$8c^2 - 4c + 1 = n^2 - 4a^2 = (n-2a)(n+2a)$$

entonces puede dejar que $c$ sea cualquier cosa, que $hk$ sea cualquier factorización de $8c^2-4c+1$ y obtener $a=(k-h)/4$ y $n=(k+h)/2$ . (Tenga en cuenta que $h$ y $k$ son necesariamente congruentes mod 4, por lo que $a$ es un número entero).

Answer 2

Con la sustitución $x:=2a$ , $y:=4c-1$ , $z:=2n+1$ su ecuación enmarcada se convierte en $$ 2x^2+y^2-2z^2=-1. $$ Las ecuaciones de este tipo se estudian a fondo en la sección 13.6 "Representación por ternarios anisótropos" de Cassels: Rational Quadratic Forms (Academic Press, 1978). En particular, el teorema 6.2 de la página 305 es directamente aplicable aquí: toda solución integral es la imagen de una solución reducida por un automorfo de $2x^2+y^2-2z^2$ y se pueden encontrar representaciones integrales reducidas de forma efectiva.

Answer 3

¿Qué tal si intentas $4a^2+8c^2-4c+1=(2a)^2+(2c-1)^2+(2c)^2=n^2$ para algún número entero $n$ ? Una simple sería $12^2+3^2+4^2=13^2$ . Por lo tanto, el par $(a, c)=(6, 2)$ funciona.