$$\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^2}$$
He utilizado el Test Integral y estoy hasta $$\frac{-1}{\ln x}$$ ¿Necesito conectar $0$ y $t$ para saber si es divergente o convergente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es necesario enchufar $0$ y $t$ para saber si converge. En su lugar, hay que introducir $3$ que es el límite inferior de la suma y el $\infty$ que es el límite superior de la suma para comprobar si es divergente.
Por Prueba integral : $$\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^2} < \frac{1}{3(ln3)^2}+\int_{3}^{\infty} \frac{1}{x(lnx)^2}dx$$
$$\int \frac{1}{x(lnx)^2}dx = -\frac{1}{lnx}+C$$ .
Así que cuando $x \to \infty$ , $\ln{x} \to \infty$ , $\frac{1}{\ln x} \to 0$ . Cuando $x = 3$ , $-\frac{1}{lnx} = -\frac{1}{\ln 3}$
Entonces $$\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^2} < \frac{1}{3(ln3)^2}+[-\frac{1}{lnx}]_3^{\infty} = \frac{1}{3(ln3)^2}+\frac{1}{\ln 3}$$ .
Por lo tanto, la serie converge.
