Expansiones del espacio del producto interno

Question

Me gustaría ampliar las dos siguientes:

i). $||v+w||^2$

ii). $||v-w||^2$

Sé que $||v||=\sqrt{\langle v,v \rangle}$ .

Por lo tanto, para (i) tendría

$$||v+w||^2=\langle v+w,v+w\rangle=\langle v,v\rangle + 2\langle v,w\rangle +\langle w,w\rangle$$

y para (ii) tendría

$$||v-w||^2=\langle v-w,v-w\rangle=\langle v,v\rangle - 2\langle v,w\rangle +\langle w,w\rangle$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

sugerencia

Las normas y el producto interior están relacionados por $||a||^2=\langle a, a\rangle$ . Así que \begin{align*} ||v+w||^2 &=\langle v+w, v+w\rangle\\ & = \langle v, v\rangle +\langle v, w \rangle +\langle w, v\rangle + \langle w, w\rangle \end{align*}