Nombres de grupos finitos

Question

Pregunta: Si tienes un grupo finito, ¿cómo lo nombras?

Si, por la razón que sea, tiene que enumerar todos los subgrupos de $GL_2({\mathbb F}_5)$ hasta el isomorfismo en un documento, es probable que escriba algo parecido a

$$ C_1, C_2, C_2, C_3, C_{2,2}, C_4, C_5, C_6, S_3, Q_8, C_8, C_{2,4}, D_4, $$ $$ C_{10}, D_5, D_6, C_{12}, C_3\rtimes C_4, C_{2,4}\rtimes C_2, OMC_{16}, C_{4,4}, $$ $$ C_{20}, D_{10}, G_{20}, C_5\rtimes C_4, SL_2(F_3), C_4\times S_3, C_3\rtimes C_8, C_{24}, $$ $$ Q_8\rtimes C_4, C_2\times G_{20}, C_2\times G_{20}, C_4\times D_5, (C_{2,4}\rtimes C_2)\rtimes C_3, C_3\rtimes OMC_{16}, $$ $$ C_4\times G_{20}, C_2.A_5, SL_2(F_3)\rtimes C_4, (C_2.A_5)\rtimes C_2, GL_2(F_5). $$

Los paquetes de álgebra computacional tienden a producir una salida de generadores y relaciones generadores y relaciones o generar permutaciones en $S_n$ . ¿Cómo se usted convertir de uno a otro y decidir cómo nombrar los grupos complicados? Estoy buscando nombres estándar, construcciones estándar, convenciones y notaciones. Para mí una buena notación es informativa es fácil de entender, es corta y, en general, es lo más parecida posible a la que se utilizaría en un documento. en un documento. También busco cualquier tipo de convención canónica: por ejemplo $(C_5\times C_5)\rtimes C_4$ o $(C_5\rtimes C_4)\times C_5$ ?

---

(La razón por la que pregunto es que parece que tengo que trabajar con grupos divertidos todos todo el tiempo últimamente. Tengo una función Magma de uso personal que analiza y nombres de grupos finitos; por ejemplo, produce la lista anterior para $GL_2({\mathbb F}_5)$ Y yo personalmente lo encuentro muy útil.

Actualmente conoce varios grupos estándar: cíclicos, abelianos, diédricos, alterno, simétrico, especial $p$ -(semi-diédrico, generalizado cuaternión, "otros cíclicos máximos", Heisenberg), grupos simples, grupos lineales (SL, GL, O, SP) y eventualmente sus versiones proyectivas; trata de reconocer productos directos, semidirectos (y eventualmente corona) si el grupo no es demasiado grande, y vuelve a las series principales si todo lo demás falla.

Recientemente mucha gente me ha pedido que comparta el código, por lo que lo haré de dominio público. Pero antes de eso me gustaría mucho recibir sugerencias de la comunidad de MO para que sea lo más útil posible para la mayoría de la gente).

---

Editar (6 años después) : Los nombres son finalmente de dominio público ( groupnames.org ), y los comentarios y sugerencias siguen siendo muy bienvenidos.

Answer 1

Es difícil encontrar una notación coherente para todos los grupos de un determinado orden, ya que su construcción es algo caótica. Podríamos describir todos los grupos de orden $p^3$ o $p^4$ pero ¿qué pasa con todos los grupos de orden $p^6$ ? O pedir $p^4q^2$ ?

El paquete de software GAP ( http://www.gap-system.org/ ) tiene un catálogo de todos los grupos de orden hasta el 2000 más o menos, por lo que a veces me he referido a los grupos por su número de catálogo, por ejemplo, SmallGroup(96, 33) se refiere a un grupo concreto de esa biblioteca. (¡Igual que SmallGroup(512, 1000000)!)

Answer 2

Para los grupos de permutaciones transitivas, el primer artículo en Journal of Computation & Mathematics de Conway, Hulpke y McKay enumera los grados menores con "nombres respetables".

Answer 3

Existe una convención útil para decorar algunos de los grupos con un índice que es el más pequeño $n$ para los que el grupo puede actuar transitoriamente en $n$ puntos, es decir, incrustaciones en $S_n$ como subgrupo transitivo. La notación para $S_n, A_n, D_n, C_n$ , su $Q_8$ y, por ejemplo, los grupos Mathieu $M_{11}, M_{12}, M_{22}$ (aunque no otros grupos simples esporádicos) siguen este patrón.

Por supuesto, también existe otra convención para utilizar el tamaño del grupo en su lugar...