¿Es el valor esperado continuo en algún sentido?

Question

Por ejemplo, si tenemos el espacio de variables aleatorias $L^1$ .

Entonces deberíamos tener eso $|E(X-Y)| \le ||X-Y||_{L^1}$ Entonces, esto significaría que el valor esperado es continuo de Lipschitz, ¿correcto?

Answer 1

Podríamos decir que el valor esperado es continuo en el sentido de que si $\operatorname E|X_n-X|^r\to0$ entonces $\operatorname E|X_n|^r\to\operatorname E|X|^r$ desde $$ |(\operatorname E|X_n|^r)^{1/r}-(\operatorname E|X|^r)^{1/r}|\le(\operatorname E|X_n-X|^r)^{1/r} $$ para $r\ge1$ utilizando la desigualdad del triángulo inverso para la norma $\|\cdot\|_{L^r}=(\operatorname E|\cdot|^r)^{1/r}$ .