¿Cada forma de "anchura limitada inferior" contiene una forma de anchura constante?

Question

Supongamos que tenemos un conjunto convexo en $\mathbb{R}^n$ cuya anchura a lo largo de cada eje es al menos 1. ¿Podemos tomar un subconjunto de sus puntos que tenga una anchura exactamente 1 en cada eje?

Por ejemplo, el cuadrado unitario contiene un triángulo de Reuleaux:

Sospecho que la respuesta es no, pero no he encontrado ningún contraejemplo evidente. También es posible que la respuesta sea afirmativa cuando $n=2$ pero se pueden encontrar contraejemplos cuando $n=3$ (o posiblemente sólo a mayor $n$ ).

Answer 1

Aha, resuelto.

El contraejemplo resulta ser bastante sencillo: ¡un triángulo equilátero! En primer lugar, un poco de razonamiento geométrico debería dejar claro que el triángulo equilátero más corto de altura $1$ obtiene a lo largo de cualquier eje es la altitud desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, como se muestra a continuación:

Para este y los otros dos ejes del triángulo, para que nuestro subconjunto de ancho constante tenga un diámetro $1$ debe contener tanto el vértice como el punto de la cara opuesta. Por tanto, la curva de anchura constante pasa por los tres vértices del triángulo. Pero dos de estos vértices están demasiado alejados. Así que no existe tal subconjunto.

Answer 2

El triángulo equilátero es un contraejemplo. El triángulo equilátero con altura $1$ (es decir, la anchura $1$ en el eje vertical) tiene una longitud lateral $2/\sqrt{3}$ .

Este conjunto tiene una anchura mayor que uno a lo largo de cualquier eje: dado un eje cualquiera, la menos una línea a lo largo de ese eje y a través de uno de los vértices pasa por el triángulo y el segmento dentro del triángulo tiene una longitud de al menos uno.

El área de este triángulo es $1/\sqrt{3} \approx 0.577$ .

El Teorema de Blaschke-Lebesgue afirma que el triángulo de Reuleaux tiene la menor área de todos los conjuntos de anchura constante. El área del triángulo de Reuleax es $\frac{\pi - \sqrt{3}}{2} \approx .705$ .

Por lo tanto, el área requerida para un conjunto de anchura constante es demasiado grande para ser contenida en el triángulo equilátero.