Este es un cross-post.
Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $4$. Sea $\omega_{i_1,i_2}$ una base para $\bigwedge^2V$, donde cada $\omega_{i_1,i_2}$ es descomponible. Supongamos que para cada $\omega_{i_1,i_2}$, hay exactamente uno otro elemento de la base $\omega_{j_1,j_2}$ tal que $\omega_{i_1,i_2} \wedge \omega_{j_1,j_2} \neq 0$.
¿Es $\omega_{i_1,i_2}$ necesariamente una reescritura de una base que es inducida por una base de $V$? es decir, ¿existen una base $v_i$ para $V$ y $\lambda_{i_1,i_2} \in \mathbb R$, tal que $\lambda_{i_1,i_2}\omega_{i_1,i_2}=v_{i_1} \wedge v_{i_2}$?
Debemos permitir una posible reescritura de la base $\omega_{i_1,i_2}$: La propiedad "complementaria" es invariante a la escala, pero ser una "base inducida" no es invariante:
De hecho, si $\omega^{i_1,\ldots,i_k}$ es una base "inducida" para $\bigwedge^kV$, y $\lambda_{i_1,\ldots,i_k} \omega^{i_1,\ldots,i_k} $ también es inducida, entonces el $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}$ debe ser los menores de $k$ de alguna matriz diagonal de tamaño $d \times d$. En otras palabras, tenemos que $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}=\sigma_{i_1}\cdot \ldots\cdot\sigma_{i_k}$ para algunos $\sigma_1,\ldots,\sigma_d \in \mathbb{R}$. Esto implica que los $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}$ no pueden ser elegidos libremente; hay relaciones no triviales.
Por lo tanto, las reescrituras de bases inducidas que permanecen inducidas están restringidas.
La pregunta se puede hacer para cualquier $d$ par y $k=d/2$. Pensé que sería más fácil empezar con el caso más simple.
Si estás interesado, aquí hay una prueba de la rigidez de las bases inducidas:
Demostraremos que $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}$ debe ser los menores de $k$ de alguna matriz diagonal de tamaño $d \times d$.
Supongamos que $ \omega^{i_1,\ldots,i_k} =v^{i_1} \wedge \ldots \wedge v^{i_k}$ y $\lambda_{i_1,\ldots,i_k} \omega^{i_1,\ldots,i_k} =u^{i_1} \wedge \ldots \wedge u^{i_k}$ para bases $u_i,v_i$ de $V$. Entonces, tenemos que $\text{span}(v_{i_1},\dots,v_{i_k})=\text{span}(u_{i_1},\dots,u_{i_k})$, para cada $1 \le i_1 < \ldots < i_k \le d$. Esto implica que $u_i \in \text{span}(v_i)$: De hecho, cambiando entre $i_k$ y $i_{k+1}$ en $$\text{span}(v_{i_1},\dots,v_{i_{k-1}},v_{i_k})=\text{span}(u_{i_1},\dots,u_{i_{k-1}},u_{i_k}), \tag{1}$$ obtenemos
$$\text{span}(v_{i_1},\dots,v_{i_{k-1}},v_{i_{k+1}})=\text{span}(u_{i_1},\dots,u_{i_{k-1}},u_{i_{k+1}}). \tag{2}$$
Al intersectar (1) y (2), vemos que
$$\text{span}(v_{i_1},\dots,v_{i_{k-1}})=\text{span}(u_{i_1},\dots,u_{i_{k-1}}). \tag{3}$$
En el paso de $(1)$ a $(3)$ hemos "quitado" los últimos vectores $v_{i_k},u_{i_k}$. Continuando de esta manera, podemos quitar todos los vectores hasta alcanzar $\text{span}(v_{i_1})=\text{span}(u_{i_1})$.
0 votos
Considere dividir su base de $\Lambda^2 V$ en 3+3, donde cada par tomado de cada conjunto de tres tenga un producto de cuña nulo...?
2 votos
¿Estoy en lo cierto de que lo siguiente es una reformulación: dadas 6 líneas en el (proyectivo) espacio 3D de tal manera que cada una de ellas interseca a todas las demás excepto exactamente una, ¿son entonces aristas de un tetraedro?