Estoy teniendo algunos problemas con este problema.
La edad media de los residentes en Estados Unidos es $35.6$ años. Si una encuesta de $200$ residentes, aproxima la probabilidad de que al menos $110$ estará bajo $35.6$ años de edad.
Así que $n=200$ y $p = 110/200 = .55$
$$Z= \frac{X - 200 \cdot 0.55}{\sqrt{200 \cdot 0.55 \cdot (1-0.55)}}$$
¿Cuál es el problema? Ya casi has terminado.
Introduce X = 35,6 en la fórmula que has dado, calcula $Z$ y luego encontrar el área a la izquierda de esta $Z$ -valor en la distribución normal estándar.
Obtenemos $Z = -10.5747$ y luego esta calculadora en línea nos dice que la probabilidad asociada es $0.00003$ .
La mediana de una distribución es $m$ tal que $F(m)=.5$ es decir $P(x\leq m)=.5$ . Aquí se da que la mediana es de 35,6. Esto sugiere que cualquier individuo extraído al azar tendrá una probabilidad de 0,5 de estar por debajo de esa edad.
La probabilidad de que exactamente $n$ personas fuera de $200$ será inferior a los 35,6 años tiene un binomio $B(200,.5)$ distribución. Calcular directamente la probabilidad de que 110 o más estén por debajo de la mediana de edad sería engorroso utilizando la distribución binomial. Sin embargo, en este caso, dado que $N$ (el tamaño de la muestra) es bastante grande, esta distribución está bien aproximada por la distribución normal con media $Np=200*.5=100$ y la desviación estándar $\sqrt{Np(1-p)}=\sqrt{200*.5*.5}=\sqrt{50}$ .
Es decir, el número de personas que están por debajo de la mediana de edad de una muestra de 200 es aproximadamente normal con una media de 100 y una desviación estándar de 50. Sea X el número de personas por debajo de la mediana de edad. El valor $Z=\frac{X-100}{\sqrt{50}}$ se distribuye de forma normal (media $0$ y la desviación estándar $1$ ).
Enchufar $p=.5$ (probabilidad de que una observación esté por debajo de la mediana) $X=110$ da $Z=1.41421$ . El uso de una tabla normal acumulativa nos dice que el área sobre $1.41421$ es $.079$ .
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