¿Cómo resolver este pde lineal de segundo orden?

Question

Tengo el siguiente pde para $f(t,x,y)$ :

$a x^2 f_{xx} + bxf_x + f_t - bxy + c = 0$ con sujeción a $f(T,x,y)=0$ para todos los positivos $x,y$ , donde $a,b$ y $c$ son constantes.

La ecuación parece ser bastante simple (pde lineal de segundo orden, con coeficientes polinómicos de forma simple y de bajo grado) pero ninguno de los métodos estándar que conozco parece funcionar bien.

¿Alguna idea? ¿Podemos garantizar al menos que hay existencia y unicidad de una solución regular?

Answer 1

Podemos deshacernos del término fuente definiendo

$$f(x,y,z,t) = xy - ct + u(x,y,z,t)\tag{1}$$

de modo que la EDP para $u$ se convierte en

$$ax^2u_{xx} + bx u_x + u_t = 0\tag{2}$$

Podemos entonces realizar un cambio de variables $z = \log(x)$ para conseguir

$$au_{zz} + (b-a) u_z + u_t = 0\tag{3}$$

que es una EDP lineal de segundo orden homogénea con coeficientes constantes y se puede, por ejemplo, utilizar la separación de variables para resolverla. Obsérvese que el último paso no es realmente necesario si se pretende utilizar la separación de variables, ya que se puede aplicar directamente a $(2)$ (pero es posible que tengas que realizar un cambio de variables similar en la EDO resultante para resolverla).

Answer 2

Escribamos f como un polinomio multivariante o serie de potencias

$$f(t,x,y) = \sum_{{k,l,m}\in{\mathbb N}^3}c_{klm}x^ky^lt^m$$ Los operadores diferenciales parciales realizarán (suma omitida): $$\frac{\partial f} {\partial x} = kc_{klm}x^{k-1}y^lt^m \hspace{1cm} \frac{\partial f} {\partial y} = lc_{klm}x^{k}y^{l-1}t^m \hspace{1cm}\frac{\partial f} {\partial t} = mc_{klm}x^{k}y^lt^{m-1}$$

Multiplicación con un monomio en x : $x^n$ dará $c_{klm}x^{k+n}y^lt^m$ por lo que todos los términos crearán conjuntamente un sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes $c_{klm}$ .

Ahora quedan las condiciones de contorno. Supondré que $T$ es un valor constante para $t$ . Entonces vemos que $$f(T,x,y) = \sum_{k,l,m\in\mathbb N^3}c_{klm}x^ky^lT^m = \sum_{k,l,m\in\mathbb N^3}c_{klm}T^mx^ky^l$$ Y vemos que poniendo igual a cero y tratando $T^m$ como constantes sólo nos da un conjunto más de ecuaciones lineales que involucran todos los términos con $x^ky^lt^0$ .

Ahora el problema que queda es la contabilidad para construir este sistema de ecuaciones. La forma de hacerlo en la práctica depende del lenguaje informático con el que estés familiarizado.

Para la existencia supongo que podemos analizar el rango de nuestro sistema de ecuaciones para una aproximación finita. Definitivamente existirá al menos alguna solución minimizadora de la norma para cualquier aproximación de dimensiones finitas debido a la existencia del pseudoinverso y como el espacio de funciones es tal que cada nueva es linealmente independiente de las demás... Sin embargo es posible que encontremos infinito número de soluciones y en ese caso lo que tenemos que hacer es introducir algún tipo de regularizador para fomentar más interesante soluciones y/o representación más sencilla sobre otros.

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EDITAR Sólo para mostrar la razonabilidad (respuesta al comentario de Winther):

Si ignoramos la condición de contorno por un segundo podemos encontrar la solución (trivial) $f = bxy - ct$ a mano. Si intercambiamos el $-bxy$ término a $-bxy^k$ todavía lo resuelve (sigue siendo trivial ya que $f_{xx}$ cero, ¿verdad?). Aquí hay un ejemplo con $-bxy^6$ , $a=4$ , $b=1$ , $c=10$ .

 sparse(reshape(v_0,[9,9,9])(:,:,1))
        (2, 7) ->  1.00000
 sparse(reshape(v_0,[9,9,9])(:,:,2))
        (1, 1) -> -10.0000

Así que los índices son exponentes+1 ( Lenguajes como Matlab y Octave comienzan a indexar en 1 en lugar de 0 ). Así que (2,7) la primera línea es el coeficiente para $x^1y^6t^0$ y la segunda línea es para $x^0y^0t^1$ . No tengo ninguna otra "verdad de base" con la que comparar, así que supongo que esto tendrá que servir hasta ahora. Como se puede ver el polinomio candidato incluye coeficientes para todos hasta exponentes 8 para todos k,l,m. Un pequeño regularizador empuja todos los coeficientes restantes a $0$ o cerca de la constante de la máquina $10^{-15}$ para nuestro ejemplo.