Subesquema cero de la sección de la gavilla localmente libre

Question

Dejemos que $\mathcal E$ sea una gavilla localmente libre de rango $e$ en una variedad proyectiva lisa $X$ . Sea $s$ sea una sección global. Quiero entender:

Cuál es el subesquema cerrado de cero $Z(s)$ de $s$ ?

Como conjunto, es el lugar de los puntos $x \in X$ tal que la imagen de $s$ en $\mathcal E_{x}/\mathcal m_x \mathcal E_{x}$ es cero (como se describe aquí ). Luego, en la respuesta, Justin Campbell da una descripción de lo que debería ser la estructura del esquema en el locus. En particular, deberíamos tener multiplicidades asociadas a los componentes irreducibles de $Z(s)$ . Desgraciadamente, sólo tengo un escaso conocimiento de los esquemas. Seguramente esto se entiende de forma más natural en términos de esquemas, pero ¿hay una forma tal vez ad hoc de definir esto en el lenguaje de las variedades?

Si ayuda en algo, estoy tratando de entender los loci de degeneración de $i$ secciones generales de $\mathcal E$ . Diga $s_1, \dots, s_i$ son $i$ secciones globales generales de $\mathcal E$ y considerar la sección global $u=s_1 \wedge \dots \wedge s_i$ de $\bigwedge^i \mathcal E$ . Los componentes irreducibles de $D(u)$ tienen codimensión $\leq e+1-i$ y para las elecciones generales de $s_1, \dots, s_i$ la codimensión es exactamente $e+1-i$ . Así que $D(u)$ dará lugar a un ciclo en $A^{e+1-i}(X)$ . Quiero entender cómo se asignan las multiplicidades a los $(e+1-i)$ -ciclos, en el lenguaje de las variedades. Se puede encontrar una referencia para esto aquí .

Answer 1

En los términos más ingenuos tienes lo siguiente. Localmente en algún conjunto abierto su haz vectorial es trivial y la desaparición de la sección $s$ es la desaparición de todos sus componentes $s_i(x)$ (piense en las secciones como funciones vectoriales locales). Así que localmente tienes $n$ ecuaciones, cortando una subvariedad en $X$ .

Como estas "funciones vectoriales" locales no son independientes, sino una presentación local de una sección global, todos estos conjuntos locales de ceros podrían pegarse en una subvariedad global.

Ahora entendiendo el subesquema cero cerrado $Z(s)$ de $s$ es entender cuál es la gavilla estructural de esta subvariedad. Como es posible tener varias componentes, diferente orden de desaparición de $s$ en diferentes componentes y esta información debe ser la estructura del subesquema.

Volviendo a la descripción local en algún conjunto abierto $U$ el mapa dual a la sección $E^* \to \mathcal{O}_X$ envía localmente algunos $(x_1, x_2, \dots x_n) \in \Gamma(U,E^*)$ a $\sum_i x_i s_i$ . La imagen es un ideal en el anillo $\mathcal{O}_X(U)$ generados por los componentes $s_1,s_2 \dots s_n$ de la sección $s$ . Así que $\mathcal{O}_X(U)$ modulo este ideal son funciones sobre la subvariedad y esta es la gavilla de estructura que ponemos sobre esta subvariedad cuando hablamos de "subesquema cerrado cero".