Un problema de cuerpo en caída libre, sólo se conocen parcialmente la distancia y el tiempo

Question

Bueno, he estado tratando de resolver un problema que me impuse a mí mismo, así que no hay valores literales incluidos. Por desgracia, mi cerebro no está cooperando.

El problema se plantea:

¿Cuál es la altura desde la que se dejó caer un objeto si recorrió el último $x$ unidades de distancia en $t_x$ ¿unidades de tiempo?

Los valores y las unidades específicas no son importantes. Es sólo un problema de pensamiento, por el bien de ella.

Estaba pensando en lo mismo:

La altura total sería $h_0$ y el tiempo total sería $t_0$ . La ecuación de la altura puede obtenerse como una integración indefinida de la función $v(t)$ o a través de canales más comunes que hacen lo mismo.

$h_0 = \frac{gt_0^2}{2}$ (1)

Cierto, eso está claro. Esto también es cierto:

$h_0 = h + x$ (2)

$t_0 = t + t_x$ (3)

Lo que nos permite replantear la ecuación (1) como

$h+x= \frac{g}{2}(t+t_x)^2$

Ahora, conocemos los valores de $x$ y $t_x$ y el valor de la aceleración gravitacional, $g= ~9.80665$ $m/s^2$

Todo lo que queda es $h$ y $t$ y no puedo expresarlo, todo lo que intento hacer no me da una idea de sus valores. ¿Está el sistema de ecuaciones poco restringido? Agradecería mucho que me dieran alguna idea, aunque sólo sea para mostrarme el error que he cometido.

Pido disculpas por no consultar los libros de texto y otros materiales, tengo la tendencia a intentar descubrir las cosas por mi cuenta, si puedo, claro.

Answer 1

Necesitas una ecuación más, preferiblemente que relacione $h$ y $t$ . Piensa en ello. ¿Qué ecuación relaciona las dos? Ten en cuenta que $h$ y $t$ son respectivamente la altura y el tiempo recorrido en el tiempo que lleva (sin incluir) el tiempo en el que recorre el último $x$ unidades.

Answer 2

Sé que ha pasado un tiempo y no sé si a OP le importa, pero aquí está mi intento de ayudar. Tenemos $$h+x=\frac{g}{2}(t+t_x)^2$$ ahora insertando $$t=\pm \sqrt{\frac{2h}{g}}$$ para $t$ y elevando al cuadrado obtenemos $$h+x=\frac{g}{2}\left( \frac{2h}{g}\pm 2t_x \sqrt{\frac{2h}{g}} +t_{x}^{2} \right)$$ Ahora $$x=\pm t_x \sqrt{2gh}+\frac{g t_{x}^{2}}{2}\implies \frac{1}{2t_{x}^{2}g}\left( x-\frac{gt_{x}^{2}}{2} \right)^2=h$$ Ahora $$h_0=h+x\implies h_0=\frac{x^2}{2t_{x}^{2}g}+\frac{x}{2}+\frac{t_{x}^{2}g}{8}$$ Si no he tropezado con el álgebra/aritmética básica, creo que esto es lo que quieres.

Espero que esto ayude.

Answer 3

La razón por la que te confundes es porque estás pensando mal en estas cosas, y estás haciendo sopa de letras. Estos son los principales problemas de los estudiantes de primaria, y hay dos sencillos cambios filosóficos que harán que estos problemas desaparezcan.

Primero: en física no se buscan muchas "ecuaciones" que relacionen los valores en algún problema inventado. Esto es lo que se hace en física clases pero no es el programa de la física. En la física, lo que se busca es una imagen completa del movimiento. Se quiere saber todo lo que hay que saber ¡! En este caso, se quiere saber dónde está la partícula en todo momento . Esto es lo primero que encuentras, y lo anotas como

$$ x(t) = {g t^2\over 2}$$

Eso es todo para la física, todo se desprende de esto y las matemáticas, ya que esto te dice toda la historia de la caída.

Conoces dos puntos de la trayectoria:

$$ h= {gt^2\over 2}$$ $$ h+x = {g(t+t_x)^2\over 2} $$

Se conoce g,x,t_x y se quiere encontrar h y t. Para ello, hay que deshacerse de los símbolos estúpidos en la medida de lo posible, mediante una buena elección de las unidades ( siempre , siempre hacer esto, te muestra el problema matemático idealizado, y nunca se enseña en la escuela, de hecho, en la escuela te dicen lo contrario--- mantener los símbolos alrededor de la consistencia dimensional--- esto es lo contrario de enseñar, es enseñar la incompetencia): En este caso, pon las unidades de tiempo y espacio de manera que g=2 y t_x=1, y encuentras

$$ h = t^2 $$ $$ h+x = (t+1)^2 $$

Ahora quieres resolver para t y h. Multiplica la segunda ecuación, sustituyendo la primera relación

$$ h+x = h + 2t + 1$$

y encuentras t:

$$ t= {x-1\over 2} $$

y

$$ h = {(x-1)^2\over 4} $$ .

A continuación, se hace la forma dimensionalmente correcta, ya sea pensando en cuáles deben ser sus unidades, o bien rehacer el problema con las tontas letras de más por ahí (ahora que sabes lo que estás haciendo). El resultado es

$$ h = {g\over 2} ( {x\over gt_x} - {t_x\over 2})^2 $$

Y como primero se resuelve el problema con las constantes puestas a 1, ahora se puede ver a través de los símbolos estúpidos, el g y el t_x, a la relación principal. Haz siempre esto, y nunca más te quedarás perplejo ante un problema elemental.