Envié por correo electrónico a Bill Lawvere un enlace a esta pregunta y, en particular, a la respuesta de Tom, y me pidió que publicara esto por él:
Intentaré aclarar el hilo asociado a este nombre durante los últimos 120 años. La aclaración implica generalizaciones del tipo que necesitaré para mi investigación, aunque todavía no he demostrado ningún resultado genuinamente nuevo.
El teorema de existencia clásico de Hilbert tiene muchos análogos, refuerzos y generalizaciones precisas. Como "Stellen" significa "lugares" en alemán, se ve inmediatamente que el contenido es el geométrico de la existencia de lugares en un espacio que satisfacen unas condiciones dadas. Como las condiciones consideradas son ecuaciones entre funciones definidas en el espacio, la geometría está íntimamente relacionada con el álgebra de dichas funciones. Sin embargo, hablar de ceros (Nullstellen) es una restricción innecesaria, útil sin embargo en contextos limitados en los que se dispone de teoremas relativos a la factorización, etc. La cuestión de la existencia y las respuestas parciales también tienen sentido para los rigs ("anillos" sin necesariamente una sustracción definida en todas partes, por ejemplo en los números naturales o en la geometría algebraica real donde se busca "Positivensaetze"). La utilidad de la restricción a las álgebras con negativos condujo al desarrollo de la técnica de la teoría de los ideales, en particular al estudio de la generación del ideal unitario, etc. Sin embargo, desde una perspectiva más conceptual, el propósito de los ideales es dar lugar a álgebras cotizadas. A la luz de esto, uno ve que la interpretación algebraica más natural del subconjunto cerrado es como un homomorfismo suryecto del álgebra de funciones sobre un espacio a otra álgebra; en el mismo espíritu, el papel de los puntos (es decir, los Stellen deseados) es actuar como homomorfismos generales de "evaluación" del mismo álgebra a álgebras especiales. (La preocupación por los ideales máximos y los ideales primos proviene realmente de la cuestión de qué álgebras son especiales). La idea general es que las álgebras especiales pueden ser cualitativamente más pequeñas que las álgebras típicas, pero se puede demostrar que tales homomorfismos existen de todos modos.
El teorema de Garrett Birkhoff de 1935 sobre la ubicuidad de las álgebras subdirectamente irreducibles implica una mejora cualitativa en el sentido de que hay incluso suficientes puntos generalizados de este tipo para producir una incrustación monomórfica de las álgebras, como explicaré a continuación. Las personas que estudian el Álgebra Universal deberían consultar el artículo de Birkhoff en el que afirma muy claramente que su teorema fue motivado por el trabajo de Hilbert y Noether en geometría algebraica, aunque se aplica a tipos de álgebra mucho más diversos. Probablemente hay resultados mucho más recientes en Álgebra Universal que se aplican todavía al caso del álgebra conmutativa.
El teorema original de Hilbert se refería a los espacios algebraicos de dimensión finita arbitraria definidos sobre un campo terreno; demostró que si la existencia de puntos era cierta para un espacio unidimensional, entonces sería cierta para los espacios no triviales de todas las dimensiones finitas. (En su caso "algebraicamente cerrado", sólo hay un álgebra especial, el propio campo de tierra, que geométricamente es el álgebra de funciones de un único punto desnudo. Sin embargo, el teorema se extiende fácilmente al caso en el que no existe tal hipótesis sobre el campo de tierra, permitiendo que extensiones de campo arbitrarias que son de dimensión finita como espacios vectoriales desempeñen el papel de los espacios especiales o formas de figuras puntuales. Estos resultados se han extendido aún más (permitiendo familias paramétricas de espacios) a anillos de tierra muy generales que no son campos pares. (Estos anillos de tierra más generales incluyen todos los que se generan finitamente como álgebras sobre un anillo de tierra más pequeño para el que el teorema es verdadero).
Ampliando aún más la categoría de espacios especiales, es decir, a las álgebras conmutativas generales de dimensión finita sobre el campo terreno, y por tanto incluyendo geométricamente no sólo los puntos gordos sino también los movimientos infinitesimales expresados por elementos nilpotentes, existen de hecho suficientes homomorfismos desde cualquier álgebra finitamente representada (típicamente de dimensión infinita) a estas álgebras especiales, en el sentido de que dadas dos funciones cualesquiera $f$ y $g$ en el álgebra que son distintos, existe un punto tan infinitesimalmente variable $x$ para que $f(x)$ no es igual a $g(x)$ . Los resultados de este tipo general los denominaré "Nullstellensatz fuerte". Significa algebraicamente que el álgebra dada es mapeada monomórficamente en un producto infinito de álgebras especiales. Continuando con una segunda etapa de esta resolución, el álgebra típica se incrusta en un límite inverso que implica series de potencia formales en cada punto. El teorema de Birkhoff es algo más preciso, ya que insiste siempre en piezas subdirectamente irreducibles, mientras que la construcción que acabamos de esbozar (una "mónada de coadecuación") se conforma con subálgebras de álgebras subdirectamente irreducibles, siendo los homomorfismos típicamente no suryentes y, por tanto, más funcionales.
Para expresar este tipo de resultados de una manera más plenamente geométrica, recuerdo el método de análisis elaborado antes de 1960 por Grothendieck para revelar plenamente el interior de un espacio (en contra de los rumores espurios de que la teoría de las categorías trata los objetos como "opacos"). Para simplificar, pienso en la categoría $C$ de los espacios considerados como incrustados en un topos, pero bastarían ciertas propiedades de existencia y exactitud que eso implicaría. Suponemos que dada una pequeña subcategoría $A$ para servir como "formas de figura"; en el caso de contextos suaves, analíticos, algebraicos, algebraicos reales, etc., estas formas de figura se tomarían típicamente como aquellas para las que las álgebras de funciones asociadas están finitamente presentadas en su categoría apropiada. Entonces el interior de cualquier espacio $X$ es la categoría discretamente fibrosa $A/X \to A$ siendo éste el functor que asigna a cada figura su forma; los mapas de la categoría coma $A/X$ , es decir, los triángulos conmutativos sobre $X$ , basta para dar cuenta de todas las relaciones de incidencia entre las figuras y, por tanto, de la estructura del interior de $X$ . Por supuesto, las fibraciones discretas son equivalentes a los funtores contravariantes valorados por conjuntos, o presheaves, pero la formulación de la fibración discreta parece estar más cerca de la geometría original; en cualquier caso, estas fibraciones discretas sobre una categoría dada $A$ constituyen un topos en el que suponemos que $C$ está totalmente integrado. Grothendieck se refirió a este análisis del interior de $X$ como el "functor de los puntos", lo que me parece engañoso debido a la tradición de 2000 años según la cual los puntos son figuras muy especiales. Así, asumimos también una subcategoría $P$ de $A$ . De nuevo, hay un intento evidente de representar cualquier $X$ como el fibrado discreto $P/X \to P$ pero es intuitivamente obvio que esta representación probablemente no será completa porque la cohesión ha sido desechada. (Digo cohesión porque al término clásico 'continuidad' se le ha dado una determinación particular durante el siglo pasado, que no estoy considerando; esta idea clásica es esencialmente la preservación de las relaciones de incidencia sin romperlas). Los ejemplos típicos de mi "cohesión axiomática" se obtienen comparando las topos generadas por tal par $(A,P)$ , dando lugar a un cuarteto de funtores cualquiera de los cuales determina a los otros tres por contigüidad, los dos descendentes expresando la idea de componentes conectados y el otro expresando la idea de puntos, mientras que los ascendentes expresan la completitud mínima del topos en el hecho de que cualquier espacio discreto da lugar a espacios discretos y codiscretos opuestos entre los que se sitúa cualquier espacio con esos puntos. Aquí es crucial que el término discreto se entienda como "semidiscreto", siendo la cohesión relativa. Por ejemplo, en el contexto original de la geometría algebraica, $P$ sería típicamente la categoría de extensiones de campos finitos, con topos generados booleanos, pero no la categoría de conjuntos abstractos, excepto en el caso del campo terreno algebraicamente cerrado. La epimorficidad del mapa de puntos a componentes dice intuitivamente que para un espacio $X$ El conjunto de puntos es la medida en que su conjunto de componentes es no vacío; sin embargo, "conjunto" significa un objeto en el topos inferior y, según la lógica interna básica, la existencia interna significa la existencia real sólo localmente, de modo que el punto de $X$ que se afirma que existe no es necesariamente sobre el objeto terminal $1$ sino sobre un campo de extensión finito.
Por innumerables razones, es importante que el functor más a la izquierda del cuarteto, el conjunto de componentes, preserve los productos finitos. Esto puede no ser cierto si tomamos $P$ demasiado pequeño, por ejemplo, sólo el objeto terminal $1$ , intentando utilizar conjuntos abstractos como topos de base inferior. Esta es una de las razones por las que he relativizado lo discreto a lo semidiscreto. La razón para enfatizar el functor más a la derecha del cuarteto, a saber, el espacio codiscreto, puede no ser obvia, pero se vuelve más significativa si esperamos obtener una versión fuerte del Nullstellensatz considerando una categoría intermedia I de movimientos infinitesimales entre $P$ y $A$ expresando así algunos de los funtores del cuarteto como compuestos. Debido a la relativa exhaustividad de las topos, el límite inverso de las álgebras implícitas en el análogo de la construcción de Birkhoff puede interpretarse simplemente como el álgebra de funciones del subespacio $sk(X)$ de $X$ obtenido como la unión de todos los subespacios infinitesimales. Pero entonces también existe la inclusión dual de este topos intermedio en el superior, asignando a $X$ un espacio $cosk(X)$ . Un problema matemático típico podría ser estilizado como si una función formal $sk(X) \to R$ puede ampliarse a $X$ sin cambiar $R$ o bien, si se trata de una vía formal $R \to cosk(X)$ puede elevarse a $X$ . El Nullstellensatz fuerte se convierte más bien en una propiedad de objetos particulares $R$ , típicamente objetos de $A$ pero no de todos los objetos de $C$ , es decir, que $R$ percibe" la inclusión $sk(X) \to X$ como epimórfico (lo que significa que el mapa inducido de espacios de funciones $R^X \to R^{sk(X)}$ es monomorfo).
Bill Lawvere (que está siguiendo este hilo desde las sombras) me envió otro correo electrónico para publicar "en respuesta a la preocupación expresada en algunos de los comentarios sobre la colindancia de $\pi_0$ "(presumiblemente en otra respuesta):
El functor que incluye los espacios (semi)discretos en espacios generales suaves o cohesivos es efectivamente adjunto al functor que asigna el espacio (semi)discreto de componentes adecuadamente conectados a cualquier espacio liso o cohesivo. Esto tiende a ser generalmente cierto cuando las dos categorías en cuestión son ('gros') topos construidos por los métodos habituales y conectados por funtores inducidos y sus adjuntos.
En este caso, los espacios semidiscretos son efectivamente más estructurados que los totalmente discretos discretos de Cantor, pero no en el sentido de los "espacios de dimensión cero" que parecen surgir si uno se adhiere erróneamente a la idea de que existe una noción predeterminada de espacio determinado enteramente por las funciones valoradas de Sierpinski. En cambio, el interior de un espacio debe analizarse por el sistema de figuras y relaciones de incidencia asociadas covariantemente, como explico en mi artículo de Palermo sobre las Funcionales de Volterra. La dualidad no es en absoluto una metafísica ingenua, como ilustra dialécticamente el conocido teorema de Liouville de que el espacio proyectivo no está determinado por su escasa álgebra de funciones, aunque las funciones sean una herramienta clave para analizar todo el topos de espacios en el que se encuentra. Hurewicz no se sometió al defecto cuando inventó los espacios k a finales de los años 40 en respuesta a las necesidades del análisis y de la topología algebraica para los espacios de mapas que satisfacen las leyes exponenciales.
A menudo se afirma casualmente (por ejemplo en Wikipedia) que los esquemas son espacios topológicos. Eso raya en la desinformación, porque el functor de los esquemas a los espacios topológicos ni siquiera preserva los productos (por tanto, no los objetos de grupo, etc.). Por eso fue todo un logro cuando Grothendieck demostró que los productos fibrosos existen incluso para los esquemas (sobre la base de la antigua definición). En una charla coloquio aquí en Buffalo en 1973, Grothendieck defendió enérgicamente que la definición de esquema basada en espacios localmente anillados se abandonara como básica en favor de una definición basada en construcciones simples de gros topos de las que los ideales primos, los entramados de conjuntos abiertos, la gavilla de funciones petite, etc. pudieran recuperarse siempre que fueran útiles por medios geométricamente intuitivos, pero no como equipaje en la definición de trabajo. (Yo mismo ya había llegado a esa conclusión en discusiones de 1966 con Gabriel, que inmediatamente sugirió que métodos similares podrían ser aplicables también en el caso liso, como Grothendieck había empezado a hacer en forma embrionaria ya en 1960 en el caso analítico).
La intuición geométrica, en el sentido aproximadamente "topológico" defendido por Grothendieck en su alegato a favor de la topología domesticada, se aplica directamente a cualquier categoría con propiedades adecuadas, incluso tan generales como las categorías "extensas". Por ejemplo, lo contrario de la categoría de las álgebras booleanas se relaciona directamente con la 'geometría algebraica' de de conjuntos finitos no vacíos, cuyos usos en forma de colectores han sido injustamente ignorados. Las técnicas de teoría ideal desarrolladas por Noether, Krull Gelfand, Stone, Jacobson, etc., deben utilizarse cuando sean apropiadas para el cálculo pero no se debe permitir que oscurezcan la intuición geométrica.
