Distribuir $27$ bolas uniformemente entre tres cajas, transfiriendo exactamente $n$ bolas en el $n$ -año de la mudanza

Question

Hay $3$ cajas, a saber, $A$ , $B$ y $C$ . Hay $27$ bolas en la caja $C$ . Tienes que hacer igual el número de bolas en cada caja. En cada $n$ -a la vez, debe transferir exactamente $n$ bolas de una caja a otra. No se pueden transferir bolas entre cajas $A$ y $B$ .

¿Cuántos movimientos son necesarios para igualar el número de bolas en todas las casillas (si es posible)?

A) $7\quad$ B) $8\quad$ C) $9\quad$ D) No es posible

Mi intento:

Dado que hay que partir de $1$ y números más grandes como $7$ , $8$ , $\ldots$ podría no ser tan apropiado para cumplir con nuestra pregunta. Intenté hacer una lista de aquellos números cuya suma o diferencia es igual a $9$ (como queremos $9$ en cada casilla). Aquí lo que tengo:

$$\begin{align} 1+2+3+4+5-6 &=9 \\ 2+7 &=9 \\ 2+3+4 &=9 \\ \cdots \end{align}$$ Pero no pude unirlos para obtener una solución adecuada. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Queremos $9$ bolas en cada caja, lo que requerirá que se muevan al menos 18 bolas. Esto es al menos $6$ se mueve como $\sum_{i=1}^6i = 21$ . Pero requerirá un número par de bolas que se mueven después de los primeros 18, ya que no podemos mover bolas entre A y B, por lo que después de los 18 estamos esencialmente moviendo bolas de ida y vuelta a y desde C para cumplir con los requisitos de movimiento. Así que el mínimo es ahora $7$ se mueve con $\sum_{i=1}^7i = 28$ bolas que se mueven.

Podemos hacerlo en $7$ se mueve moviendo $3$ bolas a A en los movimientos uno y dos, $7$ bolas a B en los movimientos tres y cuatro, $5$ bolas de B a C en la quinta jugada, $6$ bolas a A en el sexto movimiento, y $7$ bolas a B en el séptimo movimiento. Esto hace que cada caja tenga $9$ bolas.