Una curva algebraica del plano con todas las cuatro clases de puntos dobles

Question

Durante mi estudio de plano las curvas algebraicas, tengo curiosidad de saber si hay un ejemplo no trivial de un avión curva algebraica que tiene un nodo, una cúspide (para mis propósitos, no me importa cuál de los dos tipos de cúspides sería el ejemplo de la exposición), una tacnode, y un punto aislado. Por "no trivial" me refiero a una curva que no fue construido como una quimera de dos o más simples, curvas, por ejemplo,$(x-y)(x^2+y^2-1)=0$. Por supuesto, sería un quintic por lo menos (es decir, la algebraica de grado debe ser de 5 como mínimo).

Aparte de un ejemplo claro, yo también estaría interesado en un procedimiento general para la construcción de las curvas algebraicas con un determinado número y tipo de puntos singulares.

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Después de probar Qiaochu y T..'s sugerencias, tengo una pregunta: ¿el problema a ser más difícil si el requisito de que la curva de estar acotada (es decir, uno puede dibujar un círculo que la curva completa, incluyendo el punto aislado, se encuentra dentro del círculo) se impone?

Answer 1

Estoy de poner esta respuesta de la comunidad wiki para que otra gente puede añadir sus propios ejemplos de curvas construidas con los métodos en este hilo.

Ahora, Qiaochu sugerencia para la construcción de una curva de $q(y)=p(x)$ con colineales puntos singulares en el eje horizontal cantidades para la construcción de una interpolación de Hermite problema. Más explícitamente, se quiere encontrar un polinomio (o función racional), cuyas primeras derivadas en puntos preestablecidos desaparecer.

En Mathematica , por ejemplo, la función InterpolatingPolynomial puede ser utilizado para generar un Hermite interpolant. (Para sistemas que no tienen una función práctica, la interpolación de Hermite problema se resuelve a través de una adecuada modificación de la de Newton en diferencias divididas esquema o mediante la resolución de un asociado confluentes Vandermonde sistema.) El racional interpolant caso es un poco más difícil, y todavía estoy experimentando con algoritmos para el aprovechamiento racional de Hermite problema para no considerarlos, por ahora (pero pueden incluir en una posterior edición).

Por lo tanto, teniendo las condiciones en Qiaochu la respuesta, aquí es cómo se construye una curva con un nodo en $(-1,0)$, un tacnode en $(0,0)$, y una cúspide en $(1,0)$:

Expand[InterpolatingPolynomial[{{-1, {0, 0, 1}}, {0, {0, 0, 0, 0, 1}}, {1, {0, 0, 0, 1}}}, x]]

El resultado ha coeficientes fraccionarios, pero se puede multiplicar con un factor adecuado para que todos los coeficientes son números enteros, lo que resulta en el polinomio

$$3x^{11}+2x^{10}-15x^9+21x^7-6x^6-9x^5+4x^4$$

Here for instance is a plot of $$y^2=3x^{11}+2x^{10}-15x^9+21x^7-6x^6-9x^5+4x^4$$:

and a more complicated curve, $$y^2-y^3=(x^2+xy+y^2)(3x^{11}+2x^{10}-15x^9+21x^7-6x^6-9x^5+4x^4)$$:

Todavía tengo que hacer la receta para conseguir un punto aislado para trabajar, ya que las curvas generadas sólo logran tener distintas ramas de pasar por el punto deseado, pero sin puntos aislados.

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Como para T..'s de la sugerencia, de la Mathematica código que he requiere algunos graves de limpieza, así que será la edición de esta respuesta más tarde para incluir a su paramétrico de la construcción.

Actualmente estoy tratando de encontrar una curva con cuatro ejes de simetría que tiene cuatro de cada uno de los tipos de puntos dobles. Si llego a encontrar, me será de nomenclatura después de Qiaochu y T.

Answer 2

Todo, pero el punto aislado es un local algebraicas requisito que puede ser satisfecha por un componente de un racionales de la curva parametrizada por polinomios, $(x,y)=(f(z),g(z))$. Para cada singularidad que requiere de $k$ segmentos de la curva para satisfacer de manera especificada, anote los valores de $f$ $g$ y sus primeras derivadas en $k$ (o menos) a diferentes valores de $z$ que proporcionaría la imagen que desee. Por lo que esta parte del problema se reduce a encontrar el polinomio de $f$ $g$ cuyos coeficientes satisfacer algunas ecuaciones lineales.

Por ejemplo, para obtener dos ramas para satisfacer podríamos requerir a $f(1)=f(2)$$g(1)=g(2)$; tener la intersección ser transversal (resp., una de tangencia) necesitamos $(f'(1),g'(1))$ diferente de la (resp., igual a) $(f'(2),g'(2))$ y más de tangencia condiciones se pueden expresar en la misma forma. En realidad se puede trazar la curva libremente (pero unicursally, sin levantar el lápiz) en el papel de definir lo que el patrón de intersecciones y cúspides debe ser y, a continuación, elija los valores y derivados en los puntos de intersección para crear ese comportamiento en la parametrización. Puede ser arbitrariamente complicado, como un punto donde las dos ramas de cumplir a fin de $5$, mientras que los otros dos segmentos de cumplir a fin de $6$ y son tangentes a las dos primeras ramas a fin de $2$.

Para añadir un punto aislado en $(0,0)$, lleve a cabo los anteriores de construcción de manera que todas las singularidades producirse por $z \neq 0$ y la curva no pasa por 0, a continuación, reemplace la parametrización por $x = (1+z^2)f(z), \quad y= (1+z^2)g(z)$. La curva algebraica que quieres es la Zariski cierre de la parametrización cosa. Esta es la ecuación entre el $x$ $y$ obtenido por la eliminación de $z$.

Para obtener un almacén de locus, reemplazar cualquier racional parametrización $(A(t),B(t))$ $(A,B)/(1+(PAB)^2)$ donde $P$ es un polinomio de fuga de alto orden en todos los puntos singulares arreglos para $A$$B$.

Answer 3

Aquí es la idea. Todo depende de cuál es la definición de polinomio $f(x, y) = 0$ se ve como en coordenadas locales. Para simplificar las cosas tomaremos $f(x, y) = y^2 - p(x)$ donde $p$ es de algún polinomio en $x$. Ahora, yo reclamo que

• Si $y^2 = x^2 + \text{higher terms}$, entonces hay una crunode en el origen,
• Si $y^2 = x^3 + \text{higher terms}$, entonces hay una cúspide en el origen,
• Si $y^2 = x^4 + \text{higher terms}$, entonces hay una tacnode en el origen, y
• Si $y^2 = -x^2 + \text{higher terms}$, entonces hay un acnode en el origen.

El punto clave es que en cada uno de estos casos se obtiene algo a nivel local diffeomorphic para el mismo chico, pero sin el mayor orden de los términos. En otras palabras, para conseguir un montón de puntos dobles con arbitrario comportamiento es suficiente para recoger un montón de puntos de $(x_i, 0)$ y lugar diferentes condiciones sobre los valores de $p$ y sus derivados en $x_i$. En particular:

• Si $p(0) = p'(0) = 0, p''(0) = 1$, entonces hay una crunode en $(0, 0)$.
• Si $p(1) = p'(1) = p''(1) = 0, p^{(3)}(1) = 1$, entonces hay una cúspide en $(1, 0)$.
• Si $p(2) = p'(2) = p''(2) = p^{(3)}(2) = 0, p^{(4)}(2) = 1$, entonces hay una tacnode en $(2, 0)$.
• Si $p(3) = p'(3) = 0, p''(3) = -1$, entonces hay un acnode en $(3, 0)$.

Me dicen que este tipo de polinomio de interpolación es siempre posible. De hecho, se sigue por el Teorema del Resto Chino! Las condiciones son equivalentes a

• $p(x) \equiv x^2 \bmod x^3$
• $p(x) \equiv (x-1)^3 \bmod (x-1)^4$
• $p(x) \equiv (x-2)^4 \bmod (x-2)^5$
• $p(x) \equiv -(x-3)^2 \bmod (x-3)^3.$

Por supuesto, esta discusión se generaliza. Y no debería ser difícil para usted para convencer a ti mismo que puedes elegir $p$ a que no sea un cuadrado.

Edit: Y si usted también quiere ser capaz de elegir el $y$-coordina de manera arbitraria, es suficiente para reemplazar a $y^2$ por un polinomio $q(y)$ que es igual a $y^2 + \text{higher terms}$ en coordenadas locales en cada uno de los puntos que usted está interesado en, que puede ser hecho por el mismo método.