Encontrar la función indicadora conjugada

Question

Tengo dudas con este problema. Deje que $C=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x+\frac{y^2}{2}\le 0\right\}$ . Tengo que encontrar $I_C^{*}(Y)$ definido por $I_C^{*}(Y)=\sup_{X \in \mathbb{R}^2} \left\{\langle X,Y\rangle-I_C(X)\right\}$ con $I_C$ es una función idicadora de $C$ . Sólo sé cómo determinar la función conjugada en 1 dimensión, pero nunca he visto para 2 dimensiones. Entonces, ¿alguien puede guiarme? Muchas gracias.

Answer 1

$I_C(X)$ en la expresión del $I_C^*(Y)$ puede ser tratada como una restricción. Así se obtiene $$I^*_C(Y=\left[\array{y_1\\y_2}\right])=\sup_{x_1,x_2} x_1y_1+x_2y_2\\ \qquad\qquad\qquad\text{subject to }x_1+\frac{x_2^2}{2}\leq 0.$$ Puede ver que si $y_1<0$ entonces el supremum sería $+\infty$ como se puede tender $x_1\to-\infty$ . Si $y_1\geq 0$ entonces debe tener $x_1=-\frac{x_2^2}{2}$ Por lo tanto, usted quiere encontrar $\sup_{x_2} -\frac{y_1}{2}x_2^2+y_2x_2$ que se alcanza en $x_2=\frac{y_2}{y_1}$ . Por lo tanto, $$I_C^*(Y)=\left\lbrace\array{\frac{y_2^2}{2y_1}&,y_1>0\\+\infty&,y_1\leq0}\right. .$$