El límite superior de $\varphi(2^n-1)/(2^n-1)$

Question

Dejemos que $\varphi$ denotan Función totiente de Euler . Es La opinión generalizada es que que $2^n-1$ es primo para infinitos (primos) $n$ que, a su vez, implica $$\limsup_{n \to \infty} \frac{\varphi(2^n-1)}{2^n-1} = 1. $$ ¿Pero qué pasa con una prueba incondicional? Esto es una especie de continuación de una pregunta preguntado por @kodlu ayer.

Answer 1

Dejemos que $n$ sea un primo grande. Entonces $2^n-1=p_1\dots p_k$ (posiblemente con factores iguales), donde $n\mid p_i-1$ para todos $i$ . Por lo tanto, $k\leq \log_n(2^n-1)<\frac{n}{\log_2n}$ . Así, $$ \frac{\varphi(2^n-1)}{2^n-1}\geq\prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right) \geq \left(1-\frac1n\right)^{n/\log_2n}\to1, \quad n\to\infty, $$ según sea necesario.