Demuestre si $f'(1)$ es real, entonces $f'(1)\ge 1$

Question

Mientras resolvía los exámenes de años anteriores me encontré con este problema que no puedo resolver

Demuestre si $f'(1)$ es real, entonces $f'(1)\ge 1$ ,

Dejemos que $f$ sea holomorfo (tenga una derivada) en $\Omega = \{|z|<1\}\cup\{|z-1|<r\}$ para algunos $r>0$ .

Supongamos:

• $f(0)=0$
• $f(1)=1$
• $\forall z\in\Omega \space(|z|<1 \implies |f(z)|<1)$

De cualquier forma que intente mirarlo... No llego a ninguna parte :\N - La verdad es que no me gusta nada.

Gracias

Answer 1

$f$ mapea el disco de la unidad en sí mismo con $f(0) = 0$ Así pues, desde el Lema de Schwarz se deduce que $$ |f(z)| \le |z| \text{ for } |z| < 1 \, . $$ En particular, $$ \DeclareMathOperator {\re}{Re} \re f(r) \le |f(r)| \le r \text{ for } 0 < r < 1 \, . $$

$f'(1)$ es un número real y $f(1)=1$ Por lo tanto $$ f'(1) = \re f'(1) = \re \left( \lim_{r \to 1-} \frac{f(1)-f(r)}{1-r} \right) \\ = \lim_{r \to 1-} \re \left (\frac{f(1)-f(r)}{1-r} \right) = \lim_{r \to 1-} \frac{1 - \re f(r)}{1-r} \ge 1 \, . $$