Una cosa que se puede hacer con las tétradas es expresar las cantidades en todas partes en términos de lo que los observadores "naturales" medirían en cada punto del espaciotiempo.
Para ser más concretos, consideremos un espaciotiempo foliado por rodajas de coordenadas temporales constantes. En cada punto, se puede imaginar el "observador normal" cuya 4-velocidad es la normal unitaria de tiempo a la rebanada de tiempo constante (es decir, los componentes de 4-velocidad en la base de coordenadas son $u_\mu = n_\mu \equiv -\alpha \delta^0_\mu \equiv -(-g^{00})^{-1/2} \delta^0_\mu$ en el lenguaje del formalismo ADM). Este observador tiene la bonita propiedad de que su superficie de tiempo constante coincide con la superficie global de tiempo constante; las cosas que ocurren en la misma coordenada temporal parecen simultáneas para este observador.
Si el tensor tensión-energía tiene componentes $T^{\mu\nu}$ en la base de coordenadas, podríamos pensar en $T^{00}$ como la densidad de energía, por analogía con la relatividad especial. Sin embargo, el observador normal vería una densidad de energía de $n_\mu n_\nu T^{\mu\nu} = \alpha^2 T^{00}$ . Si en lugar de ello expresáramos los componentes de la tensión-energía en las coordenadas localmente planas del observador normal (denotadas con primos), tendríamos simplemente la densidad de energía $T^{0'0'}$ con el lapso ya contabilizado.
Esto puede dar una buena interpretación física a los componentes individuales de los tensores: $T^{0'0'}$ es la densidad de energía vista por un observador concreto y sensible, mientras que $T^{00}$ es difícil de interpretar sin los demás componentes del tensor. Con esta tétrada en particular, también se puede trasladar a la RG cualquier modelo complicado de fenómenos locales que se haya elaborado en la relatividad especial. 1
El coste viene al relacionar cantidades en diferentes puntos, como cuando se mueve a lo largo de trayectorias o se integra sobre regiones del espaciotiempo. En muchos de estos casos, el hecho de que la tétrada evolucione con respecto a la base de coordenadas natural a medida que te mueves por el espaciotiempo hace que este tipo de operaciones sean peores con las tétradas. 2
1 De hecho, esto ocurre en mi campo, donde tenemos más y mejores aproximaciones a los comportamientos no lineales en la dinámica de fluidos en los espacios-tiempo de Minkowski que en los espacios-tiempo generales.
2 Además, yo no describiría las tétradas como "libres de coordenadas" (aunque mucha gente lo hace). Una tétrada es simplemente una elección de bases para el haz tangente que no es la base que se obtiene naturalmente del sistema de coordenadas en cuestión. Pero sustituir las bases inducidas por las coordenadas no es lo mismo que deshacerse de las coordenadas mismas. Tampoco se evita trabajar con componentes en una base específica cuando se trata de tétradas (que es lo que algunas personas quieren decir cuando dicen "libre de coordenadas").
