Haces vectoriales complejos que no son holomorfos

Question

¿Existe un ejemplo de paquete complejo en $\mathbb CP^n$ o en una variedad de Fano (definida sobre números complejos), que no admite una estructura holomorfa? Requerimos que las clases de Chern del haz sean $(k,k)$ Las clases de Hodge (que es automático para $\mathbb CP^n$ o Fanos de dimensión<4). Si por casualidad se conocen estos ejemplos, ¿cuál es la dimensión más pequeña de la variedad (o del haz)?

Para $\mathbb CP^1$ es elemental ver que todos los haces son holomorfos. En el libro de Okonek y Schneider se afirma que todos los haces complejos sobre $\mathbb CP^2$ y $\mathbb CP^3$ también son holomorfas. Pero para $\mathbb CP^n$ , $n\ge 4$ esto se plantea como un problema abierto (al igual que en 1980).

Answer 1

Aquí está la respuesta a la pregunta, amablemente explicada por Burt Totaro.

EDITADO. Este es un PROBLEMA ABIERTO.

0) Aparentemente en el caso de $\mathbb CP^n$ La existencia de un haz complejo sin estructura holomórfica sigue siendo un PROBLEMA ABIERTO. Aunque se cree que debe haber muchos ejemplos a partir de $n\ge 5$ que provienen de haces de rango dos topológicamente indecomponibles, aparentemente no se ha demostrado que dicho haz sea no holomorfo como hasta ahora.

1) Un haz complejo de rango 2 topológicamente no trivial con $c_1=0$ , $c_2=0$ se construyó en

Rees, Elmer, Algunos clasifican dos bultos en ${\rm P}_{n}\mathbb C$ cuyas clases de Chern desaparecen. Variétés analytiques compactes (Coloquio, Niza, 1977).

También se afirmó en este artículo que este haz no admite una estructura holomórfica. Pero esta afirmación se dedujo de un artículo que contenía una laguna. Así que todavía no se sabe si este haz particular tiene estructura holomorfa o no. Esto se discute en M. Schneider. Paquetes vectoriales holomorfos en ${\rm P}^n$ . Seminario Bourbaki 1978/79, exponer 530.

Por eso Okonek y Schneider escriben en su libro, p. 137, que se trata de un problema abierto.

2) En el lado positivo se demuestra que todo haz vectorial complejo sobre un triplete racional proyectivo liso tiene una estructura holomorfa.

C. Banica y M. Putinar. Sobre los haces vectoriales complejos en la proyectiva. Invent. Math. 88 (1987), 427-438.

3) Si se quieren construir ejemplos de haces sobre variedades proyectivas que no sean necesariamente Fanos se puede utilizar el hecho de que la conjetura integral de Hodge falla. En concreto, hay elementos en $H^{2p}(X,\mathbb Z)$ que están en $H^{p,p}$ pero que no están representados por un ciclo algebraico. Kollar dio ejemplos de este tipo con $dim(X)=3$ . Una referencia reciente, que remite a resultados anteriores, es:

C. Soule y C. Voisin. Clases de cohomología de torsión y ciclos algebraicos en variedades proyectivas complejas. Adv. Math. 198 (2005), 107-127

4) Una de las razones para esperar ejemplos de estos haces en dimensiones superiores es la conjetura de Schwarzenberger de que todo haz vectorial algebraico de rango 2 $E$ , en $\mathbb CP^n$ con $n\ge 5$ es una suma directa de dos haces de líneas. Así, por ejemplo, si $c_1(E)=0$ entonces $c_2(E)=-d^2$ para algún número entero $d$ según el conjetura.